Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Підмножина



План:


Введення

На діаграмі кіл Ейлера видно, що A є підмножиною B , А B є надбезліччю A.

Підмножина в теорії множин - це поняття частини множини.


1. Визначення

  • Безліч A є підмножиною множини B , Якщо будь- елемент, що належить A , Також належить B . Пишуть: A \ subset B або A \ subseteq B . Таким чином,
(A \ subset B) \ Leftrightarrow (x \ in A \ Rightarrow x \ in B).
  • Безліч B в такому випадку називається надбезліччю безлічі A , І цей факт часто записують: B \ supset A або B \ supseteq A.

Безліч A називається підмножиною множини B, якщо всі елементи A є також елементами B. Будь-яке безліч є своїм підмножиною: A \ sub A. Якщо при цьому A \ ne B , То A називається власним підмножиною B. За визначенням вважають, що пусте безліч є підмножиною будь-якої безлічі: \ Forall A: \ varnothing \ sub A .

Безліч всіх підмножин множини A позначається \ Mathcal {P} A або 2 A , Так як воно відповідає безлічі відображень з A в 2 = {0,1}. Іноді його називають безліччю-ступенем ( англ. power set ) Для A . Потужність безлічі-ступеня, за теоремі Кантора, завжди більше, ніж у вихідного безлічі. В категорії множин \ Mathcal {P} - Це контраваріантний функтор, що відображає функцію f \ colon A \ to B в \ Mathcal {P} f \ colon \ mathcal {P} B \ to \ mathcal {P} A, при цьому відображення \ Mathcal {P} f ставить у відповідність кожному підмножині B його повний прообраз в A.

Приклади:

  • Підмножинами безлічі {0,1,2,3,4,5} є безлічі \ Varnothing, \ {0 \}, \ {1,3,4 \}.
  • Підмножинами безлічі \ {$,%, \ Varnothing, \ uparrow, *, moose \} є безлічі \ {\ Varnothing, \ uparrow, moose \}, \ {$,%,*, \ uparrow \}, \ {\ varnothing \}, \ varnothing.
  • Нехай A = {a, b}, тоді \ Mathcal {P} A = \ {\ varnothing, \ {a \}, \ {b \}, \ {a, b \} \}.

2. Власне підмножина

З визначення прямо випливає, що пусте безліч зобов'язана бути підмножиною будь-якої безлічі. Також, очевидно, будь-яке безліч є своїм підмножиною:

\ Varnothing \ subset B, \; B \ subset B \ quad \ forall B .

Якщо A \ subset B , І A \ ne \ varnothing , A \ ne B , То A


3. Властивості

Ставлення підмножини володіє цілим рядом властивостей. [1]

  • A \ subset B.
  • A \ cap B = A.
  • A \ cup B = B.
  • B ^ {\ complement} \ subset A ^ {\ complement}.

4. Підмножини кінцевих множин

Якщо вихідна безліч звичайно, то у нього існує кінцеве кількість підмножин. А саме, у n -Елементного безлічі існує 2 n підмножин (включаючи пусте). Щоб переконатися в цьому, достатньо зауважити, що кожен елемент може або входити, або не входити в підмножина, а, значить, загальна кількість підмножин буде n -Кратним твором двійок. Якщо ж розглядати тільки підмножини n -Елементного безлічі з k \ le n елементів, то їх кількість виражається біноміальних коефіцієнтів \ Textstyle \ binom {n} {k} . Для перевірки цього факту можна вибирати елементи підмножини послідовно. Перший елемент можна вибрати n способами, другий n - 1 способом, і так далі, і, нарешті, k -Й елемент можна вибрати n - k + 1 способом. Таким чином ми отримаємо послідовність з k елементів, і рівно k! таким послідовностей відповідає одне підмножина. Значить, всього знайдеться \ Textstyle \ frac {n (n-1) \ dots (n-k +1)} {k!} = \ binom {n} {k} таких підмножин.


5. Приклад

  • Нехай
A = \ {1,2,3,4,5 \}, \; B = \ {1,2,3 \}, \; C = \ {4,5,6,7 \}.

Тоді

B \ subset A, \; C \ not \ subset A.

Примітки

  1. В. А. Ільїн , В. А. Садовничий , Бл.Х. Сенд . Глава 2. Речові всіх / / Математичний аналіз - sci-lib.com/book000401.html / Під ред. А. Н. Тихонова - 3-е изд. , Перераб. і доп. - М .: Проспект, 2006. - Т. 1. - С. 65. - 672 с. - ISBN 5-482-00445-7.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru