Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Піднесення до степеня



План:


Введення

Зведення в ступінь - бінарна операція, яка відбувається з скорочення для множинного множення числа на самого себе. Позначення: a b називається ступенем з основою a і показником b.


1. Натуральна ступінь

Число c називається n-ної ступенем числа a, якщо c = \ begin {matrix} \ underbrace {a \ cdot a \ cdot ... \ Cdot a} \ \ n \ end {matrix} .

Властивості:

  1. \ Left (ab \ right) ^ n = a ^ nb ^ n
  2. \ Left ({a \ over b} \ right) ^ n = {{a ^ n} \ over {b ^ n}}
  3. a ^ na ^ m = a ^ {n + m} \!
  4. \ Left. {A ^ n \ over {a ^ m}} \ right. = A ^ {n-m}, \ quad n> m
  5. \ Left (a ^ n \ right) ^ m = a ^ {nm}
  6. запис a ^ {n ^ m} Не має властивість асоціативності (сочетательно), тобто в загальному випадку ліва асоціативність не дорівнює правій асоціативності (A ^ n) ^ m \ ne a ^ \ left ({n ^ m} \ right) , Результат буде залежати від послідовності дій, наприклад, (2 ^ 2) ^ 3 = 4 ^ 3 = 64 \! , А 2 ^ \ left ({2 ^ 3} \ right) = 2 ^ 8 = 256 . Прийнято вважати запис a ^ {n ^ m} рівнозначної a ^ \ left ({n ^ m} \ right) , А замість (A n) m можна писати просто a n m , Користуючись попереднім властивістю.
  7. зведення в ступінь не має властивість комутативності (переместительному): взагалі кажучи, a ^ b \ ne b ^ a , Наприклад, 2 5 = 32 , Але 5 2 = 25 .

Існує алгоритм швидкого піднесення до степеня, що виконує зведення в ступінь за менше, ніж у визначенні, число множень.


2. Ціла ступінь

a ^ z = \ begin {cases} a ^ {z}, & \ mbox {if} z> 0 \ \ 1, & \ mbox {if} z = 0, a \ ne \; 0 \ \ \ frac {1 } {a ^ {| z |}}, & \ mbox {if} z <0, a \ ne \; 0 \ end {cases}
0 ^ n, n \ leqslant 0 не визначений

3. Раціональна ступінь

За визначенням, a ^ {p \ over q} = \ sqrt [q] {a ^ p}, \ quad p \ in \ mathbb {Z}, q \ in \ mathbb {N}, a \ geqslant 0 \

Див корінь ступеня q

4. Речова ступінь

Нехай a \ geqslant 0 .

У школі речову функцію вводять, використовуючи той факт, що між будь-якими двома раціональними числами існує ірраціональне, а між будь-якими двома ірраціональними - раціональне. Тоді a ^ p <\; a ^ r <\; a ^ q , Де p , | P-q | <\ epsilon , Де \ Epsilon - Похибка обчислення. Таким чином, для будь-якого ірраціонального числа r підбираються два раціональних p і q з необхідним ступенем точності і будь-яке число між a p і a q приймається за відповідь.

Інший підхід заснований на теорії рядів і логарифмів. (Див. визначення комплексної ступеня)


4.1. Потенціювання

Потенціювання (від ньому. potenzieren , Зведення в ступінь) - це знаходження числа за відомим значенням його логарифма, тобто рішення рівняння:

\ Log_a ~ x = b

З визначення логарифма випливає, що x = a b . Таким чином, потенціювання означає зведення підстави логарифма до степеня, що дорівнює значенню логарифма. Наприклад, якщо десятковий логарифм числа дорівнює L , То шукане число дорівнює 10 L .

Термін "потенціювання" вперше зустрічається у швейцарського математика Йоганна Рана ( 1659).


5. Комплексна ступінь

Спочатку покажемо, як обчислюється експонента e z , Де e - число Ейлера, z - довільне комплексне число, z = x + y i .

\, E ^ z = e ^ xe ^ {yi} = e ^ x (\ cos y + i \ sin y) = e ^ x \ cos y + ie ^ x \ sin y.

Тепер розглянемо загальний випадок a b , Де a, b обидва є комплексними числами. Найпростіше це зробити, представивши a в експоненційної формі та використовуючи тотожність a ^ b = e ^ {b \ \ operatorname {Ln} (a)} , Де Ln - комплексний логарифм :

\, A ^ b = (re ^ {{\ theta} i}) ^ b = (e ^ {\ operatorname {Ln} (r) + {\ theta} i}) ^ b = e ^ {(\ operatorname { Ln} (r) + {\ theta} i) b}.

Слід мати на увазі, що комплексний логарифм - багатозначна функція, так що, взагалі кажучи, комплексна ступінь визначена неоднозначно.


6. Ступінь як функція

Оскільки у виразі x y приймає участь дві змінних, то його можна розглядати як:


7. Значок ступеня

Історично ступінь, починаючи з Декарта, позначали "двоповерхової" записом виду a b . Коли з'явилися комп'ютери і комп'ютерні програми, виникла проблема, яка полягає в тому, що в тексті комп'ютерних програм неможливо записати ступінь таким способом. У зв'язку з цим винайшли особливі значки для операції піднесення до степеня.

Першим таким значком були дві зірочки: **, використовувані в мові Фортран. У який з'явився дещо пізніше мовою Алгол використовувався значок стрілки: \ Uparrow (Про таку стрілкою см. Стрілки Кнута). Мова BASIC запропонував символ ^ (" циркумфлекс "), який придбав найбільшу популярність. Його тепер часто використовують і при написанні формул і математичних виразів у текстових файлах.

Приклади:

3 ^ 2 = 9; 5 ^ 2 = 25; 2 ^ 3 = 8, 5 ^ 3 = 125

Трапляється, що циркумфлекс використовують і при написанні складних, громіздких математичних виразів і формул на папері (особливо з громіздким показником).

На комп'ютерній клавіатурі значок ступеня (циркумфлекс) знаходиться на тій самій клавіші, що і цифра 6. Для його введення треба в режимі набору англійського тексту натиснути Shift +6.

У випадку декількох ступенів поспіль, "багатоповерхова" запис ступеня і запис її за допомогою значка ступеня (значків потрібно кілька) мають різну асоціативність : У записі a ^ b ^ c ^ d ^ f (за допомогою значка ступеня) асоціативність ліва, тобто зведення до степеня виконуються в порядку черговості зліва направо: ((((a ^ b) ^ c) ^ d) ^ f ) - саме так обчислює такий вислів (яке без дужок) програма Excel; в записі ж a ^ {b ^ {c ^ {d ^ f \!} \!} \!} \! (Багатоповерховий спосіб) асоціативність права, тобто зведення до степеня виконуються в порядку справа наліво: (a ^ (b ^ (c ^ (d ^ f )))).


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Піднесення
Піднесення (географія)
Голосні середнього піднесення
© Усі права захищені
написати до нас