Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ранг матриці



План:


Введення

Рангом системи рядків (стовпців) матриці A з m рядків і n стовпців називається максимальне число лінійно незалежних рядків (стовпців). Кілька рядків (стовпців) називаються лінійно незалежними, якщо жодна з них не виражається лінійно через інші. Ранг системи рядків завжди дорівнює рангу системи стовпців, і це число називається рангом матриці.

Ранг матриці - найвищий з порядків мінорів цієї матриці, відмінних від нуля.

Ранг матриці - Розмірність образу d i m (i m (A)) лінійного оператора, якому відповідає матриця.

Зазвичай ранг матриці A позначається \ Operatorname {rang} A ( \ Operatorname {rg} A ) Або \ Operatorname {rank} A . Обидва позначення прийшли до нас з іноземних мов, тому і вживатися можуть обидва. Останній варіант властивий для англійської мови, в той час як перший - для німецького, французького і інших мов.


1. Визначення

Нехай A_ {m \ times n} - Прямокутна матриця.

Тоді за визначенням рангом матриці A є:

  • нуль, якщо A - Нульова матриця;
  • число r \ in \ mathbb {N}: \; \ exist M_r \ neq 0, \; \ forall M_ {r +1} = 0 , Де M r - Мінор матриці A порядку r , А M r + 1 - Окаймляющий до нього мінор порядку (R + 1) , Якщо вони існують.

Теорема (про коректність визначення рангів). Нехай всі мінори матриці A_ {m \ times n} порядку k дорівнюють нулю ( M k = 0 ). Тоді \ Forall M_ {k +1} = 0 , Якщо вони існують.



2. Пов'язані визначення

  • Ранг \ Operatorname {rang} M матриці M розміру m \ times n називають повним, якщо \ Operatorname {rang} M = \ min \ {m, n \} .
  • Базисний мінор матриці A - Будь-який ненульовий мінор матриці A порядку r , Де r = \ operatorname {rang} A .
    • Рядки та стовпці, на перетині яких стоїть базисний мінор, називаються базисними рядками і стовпчиками. (Вони визначені неоднозначно в силу неоднозначності базисного мінору.)

3. Властивості

  • Теорема (про базисному мінорі): Нехай r = \ operatorname {rang} A, M_r - Базисний мінор матриці A , Тоді:
    1. базисні рядки і базисні стовпці лінійно незалежні;
    2. будь-який рядок (стовпець) матриці A є лінійна комбінація базисних рядків (стовпців).
  • Наслідки:
    • Якщо ранг матриці дорівнює r , То будь-які p: p> r рядків або стовпців цієї матриці будуть лінійно залежні.
    • Якщо A - Квадратна матриця, і \ Det A = 0 \ iff , То рядки і стовпчики цієї матриці лінійно залежні.
    • Нехай r = \ operatorname {rang} A , Тоді максимальна кількість лінійно незалежних рядків (стовпців) цієї матриці одно r .
  • Теорема (про інваріантність рангу при елементарних перетвореннях): Введемо позначення A ~ B для матриць, отриманих одне з одного елементарними перетвореннями. Тоді справедливе твердження: Якщо A ~ B , То їх ранги рівні.
  • Теорема Кронекера - Капеллі : Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці. Зокрема:
    • Кількість головних змінних системи дорівнює рангу системи.
    • Спільна система буде визначена (її рішення єдино), якщо ранг системи дорівнює числу всіх її змінних.

4. Лінійне перетворення і ранг матриці

Нехай A - Матриця розміру m \ times n над полем C (Або R ). Нехай T - Лінійне перетворення, відповідне A в стандартному базисі, це значить, що T (x) = A x . Ранг матриці A - Це розмірність області значень перетворення T .

5. Методи

Існує кілька методів знаходження рангу матриці:

  • Метод елементарних перетворень
Ранг матриці дорівнює числу ненульових рядків у матриці після приведення її до ступінчастою формі за допомогою елементарних перетворень над рядками матриці.
  • Метод оздоблюють мінорів
Нехай в матриці A знайдено ненульовий мінор k -Го порядку M . Розглянемо всі мінори (K + 1) -Го порядку, що включають в себе (оздоблюють) мінор M ; Якщо всі вони рівні нулю, то ранг матриці дорівнює k . В іншому випадку серед оздоблюють миноров знайдеться ненульовий, і вся процедура повторюється.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ранг (біологія)
Ранг корабля
Матриці Паулі
Лямбда-матриці
Слід матриці
Характеристичний многочлен матриці
Елементарні перетворення матриці
© Усі права захищені
написати до нас