Раціональна функція

Раціональна функція - це дріб, чисельником і знаменником якої є многочлени. Вона має вигляд

$\ Frac {P_n (x_1, \ dots, x_n)} {Q_m (x_1, \ dots, x_m)}$

де $P_n (x_1, \ dots, x_n)$ , $Q_m (x_1, \ dots, x_m)$ - многочлени від будь-якого числа змінних.

Окремим випадком є раціональні функції одного змінного:

$R (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)}$ , Де P (x) і Q (x) - многочлени.

Іншим приватним випадком є відношення двох лінійних функцій - дрібно-лінійна функція.

Властивості

Будь-яке вираження, яке можна отримати з змінних $x_1, \ dots, x_n$ за допомогою чотирьох арифметичних дій, є раціональною функцією.
Безліч раціональних функцій замкнуто щодо арифметичних дій та операції композиції.
Будь раціональна функція може бути представлена у вигляді суми найпростіших дробів (див. Метод невизначених коефіцієнтів), це застосовується при аналітичному інтегруванні.

Правильні дроби

Розрізняють правильні і неправильні раціональні дроби, за аналогією зі звичайними числовими дробами. Раціональна дріб називається правильною, якщо порядок знаменника більше порядку чисельника, і неправильною, якщо навпаки.

Будь-яку неправильну раціональну дріб можна перетворити на суму деякого многочлена і правильної раціональної дробу

$\ Frac {P_n (x)} {Q_m (x)} = P ^ '_ {nm} (x) + \ frac {P ^{''}_{ m-1} (x)} {Q_m (x) }$

Будь-яку раціональну дріб многочленів з речовими коефіцієнтами можна представити як суму раціональних дробів, знаменниками яких є вираження (X - a) ^k (A - речовий корінь Q (x)) або (X ² + p x + q) ^k (Де x ² + p x + q не має дійсних коренів), причому ступеня k не більше кратності відповідних коренів в многочлене Q (x). На підставі цього твердження заснована теорема про інтегрованості раціональної дробу. Відповідно до неї, будь-яка раціональна дріб може бути інтегрована в елементарних функціях, що робить клас раціональних дробів досить важливим у математичному аналізі.

C цим пов'язаний метод виділення раціональної частини в первообразной від раціональної дробу, який був запропонований в 1844 році М. В. Остроградським.