Решітка Стоуна

Решітка Стоуна - дистрибутивна решітка L з псевдодополненіямі, в якій a ^ * \ vee a ^ {**} = 1 для всіх елементів a . Дистрибутивная грати L з псевдодополненіямі є структурною гратами тоді і тільки тоді, коли теоретико-структурний об'єднання двох її різних мінімальних простих ідеалів збігається з L (Теорема Гретцера - Шмідта [1]).

Структурні решітка, розглянута як універсальна алгебра з основними операціями \ Langle \ vee, \ wedge, {} ^ *, 0,1 \ rangle , Називається алгеброю Стоуна. Всяка алгебра Стоуна є подпрямим твором Двохелементний і трьохелементної ланцюгів. У гратах з псевдодополненіямі елемент x називається щільним, якщо x ^ * = 0 . Центр C (L) решітки Стоуна L - булева алгебра, а безліч D (L) всіх її щільних елементів - дистрибутивна решітка з одиницею. При цьому гомоморфізм \ Phi ^ L решітки C (L) в решітку F (D (L)) фільтрів решітки D (L) , Який визначається умовою

a \ phi ^ L = \ {x \ mid x \ in D (L), x \ geqslant a ^ * \},

зберігає 0 і 1.

Трійкою, асоційованої з алгеброю Стоуна L , Називається трійка \ Langle C (L), D (L), \ phi ^ L \ rangle . Природним чином визначаються гомоморфізму і ізоморфізми трійок. Довільна трійка \ Langle C, D, \ phi \ rangle , Де C - булева алгебра, D - Дистрибутивна решітка з 1, а \ Phi \ colon C \ to F (D) - Гомоморфізм, що зберігає 0 і 1, ізоморфна трійці, асоційованої з деякою алгеброю Стоуна; алгебри Стоуна ізоморфні тоді і тільки тоді, коли ізоморфні асоційовані з ними трійки (теорема Чена - Гретцера [2]).


Примітки

  1. Grtzer G., Schmidt ET "Acta math. Acad. Sci. Hung.", 1957, v. 8, fasc. 3-4, p. 455-460
  2. Chen CC, Grtzer G. "Canad. J. Math.", 1969, v.21, № 4, p. 884-903.

Література

  • Біркгоф Г. Теорія грат. - Пров. з англ., М ., 1984.
  • Фофанова Т. С. Впорядковані множини й грати. - В. 3, Саратов, 1975. С. 22-40.