Симетричний тензор

В математики і теоретичній фізиці тензор називається симетричним за двома індексами i та j, якщо він не змінюється при перестановці цих індексів:

T_ {ij \ dots} = T_ {ji \ dots}

Якщо тензор не змінюється при перестановці будь-якої пари своїх індексів, то такий тензор називається абсолютно симетричним.


1. Сімметрізація і антісімметрізація

Для будь-якого тензора U, з компонентами U_ {ij \ dots} , Можна побудувати симетричний і антисиметрична тензор за правилом:

U_ {(ij) \ dots} = \ frac {1} {2} (U_ {ij \ dots} + U_ {ji \ dots}) (Симетрична частина),

U_ {[ij] \ dots} = \ frac {1} {2} (U_ {ij \ dots}-U_ {ji \ dots}) (Антисиметрична частина).

Термін "частина" означає, що U_ {ij \ dots} = U_ {(ij) \ dots} + U_ {[ij] \ dots}

Для більшого числа індексів теж можна визначити сімметрізацію:

T_ {(i_1i_2 \ dots i_r)} = \ frac {1} {r!} \ Sum_ {\ sigma \ in \ mathfrak {S} _r} T_ {i_ {\ sigma 1} i_ {\ sigma 2} \ dots i_ {\ sigma r}} \ ,

позначається також (для випадку її проведення по всіх індексах) символом \ Operatorname {Sym} :

(\ Operatorname {Sym} \, T) _ {i_1i_2 \ dots i_r} = T_ {(i_1i_2 \ dots i_r)} \ .

Однак, для розкладання тензора рангу, більшого двох, виявляється недостатньо лише абсолютно симетричного і абсолютно антисиметрична доданків.


2. Властивості

3. Приклади абсолютно симетричних тензорів

Останній приклад показує, що, на відміну від антисиметрична випадку, простір симетричних тензорів матиме позитивну розмірність при як завгодно великому числі сімметрізуемих індексів.


4. Застосування

Симетричні коваріантного тензори виникають при розкладанні в ряд Тейлора функції, заданої на лінійному просторі - член ступеня n є симетричним n-лінійним функціоналом, тобто його "коефіцієнтом" є абсолютно симетричний тензор рангу n.

В квантовій механіці симетричний по n індексам тензор описує n-часткове стан бозона. Коли стан описується хвильовою функцією, хвильові функції від багатьох змінних математично можуть розглядатися як безконечномірні тензори (кожен аргумент відповідає індексу). Симетрична функція задовольняє рівнянню \ Psi (x, y) = \ psi (y, x) і аналогічно для більшого числа змінних.