Слід матриці

Слід матриці - операція, що відображає простір квадратних матриць в поле, над яким визначена матриця (для дійсних матриць - в полі дійсних чисел, для комплексних матриць - в полі комплексних чисел). Слід матриці - це сума елементів головної діагоналі матриці, тобто якщо a_ {ij} елементи матриці A , То її слід \ Mathop {\ rm tr} \; A = \ sum_i a_ {i i} .

У математичних текстах зустрічається два позначення операції взяття сліду: \ Mathop {\ rm Tr} \; A (Від англ. trace - Слід), і \ Mathop {\ rm Sp} \; A (Від ньому. Spur - Слід).

В тензорному обчисленні слідом тензора другого рангу (один раз коваріантного і один раз контраваріантного) називається сума його діагональних елементів. Незалежно від ковариантности і контраваріантності, слід тензора другого рангу обчислюється як подвійне скалярний добуток тензора з метричним тензором і є першим інваріантом: Tr A = I_1 (A) = g \ cdot \ cdot A .


Властивості

  • Лінійність \ Mathop {\ rm tr} \; (\ alpha A + \ beta B) = \ alpha \ mathop {\ rm tr} \; A + \ beta \ mathop {\ rm tr} \; B .
  • Циклічність \ Mathop {\ rm tr} \; (ABC) = \ mathop {\ rm tr} \; (BCA) = \ mathop {\ rm tr} \; (CAB) .
    Слідство: слід однаковий для всіх подібних матриць: \ Mathop {\ rm tr} \; (C ^ {-1} AC) = \ mathop {\ rm tr} \; A \ .
  • \ Mathop {\ rm tr} \; A = \ mathop {\ rm tr} \; A ^ {T} , Де T означає операцію транспонування.
  • \ Ln \ det A = \ mathop {\ rm tr} \; \ ln A .
  • Якщо A \ otimes Bтензорне твір матриць A і B, то \ Mathop {\ rm tr} \; A \ otimes B = (\ mathop {\ rm tr} \; A) (\ mathop {\ rm tr} \; B) .
  • Слід матриці дорівнює сумі її власних значень.
  • Визначник квадратної матриці n \ times n можна виразити через сліди ступенів цієї матриці, не переважаючі n . Наприклад \ Det A_ {3 \ times 3} = \ frac {1} {6} \ left ((\ mathop {\ rm tr} A) ^ 3-3 \ mathop {\ rm tr} A \ cdot \ mathop {\ rm tr} A ^ 2 +2 \ mathop {\ rm tr} A ^ 3 \ right) .

Геометричне властивість

  • \ Mathop {\ rm det} (E + G \ varepsilon) = 1 + \ mathop {\ rm tr} G \ \ varepsilon \ + o (\ varepsilon) ,
де E - одинична матриця, ε - нескінченно мале число. Тобто нескінченно мале лінійне перетворення змінює обсяг на величину, пропорційну сліду генератора цього перетворення в першому порядку по його малим параметром. Іншими словами, швидкість зміни об'єму при такому перетворенні дорівнює сліду його генератора.
  • Слідства:
    • \ Mathop {\ rm det} \ \ mathop {\ rm exp} (G \ alpha) = 1 + \ mathop {\ rm tr} G \ \ alpha \ для малих α
    • Для того, щоб перетворення не змінювали обсяг, досить того, щоб їх генератори були бесследовимі.