Спектром кільця R називається множина всіх простих ідеалів кільця R . Спектр позначається так: \ Operatorname {Spec} \, R .

Гомоморфізм \ Varphi з кільця A в кільце B індукує відображення їх спектрів (але в зворотному напрямку) \ Varphi ^ *: \ operatorname {Spec} \, B \ rightarrow \ operatorname {Spec} \, A . Якщо \ Mathfrak {q} - Простий ідеал кільця B , То \ Varphi ^ * (\ mathfrak {q}) = \ varphi ^ {-1} (\ mathfrak {q}) - Простий ідеал кільця A .

Спектр всякого кільця (далі за замовчуванням - комутативність з одиницею) має структуру локально окільцьованих простору, тобто спектр кільця є топологічним простором зі структурним пучком локальних кілець.


Топологія Зарисского

Топологію на спектрі кільця ( топологія Зарисского) можна ввести двома еквівалентними способами. (В алгебраїчній геометрії обидва способи активно використовуються.)

1 спосіб. Перший спосіб ввести топологію Зарисского на спектрі кільця - вказати базис топології. Базисом служать підмножини спектру виду D_f = \ {\ mathfrak {p} \ in \ operatorname {Spec} \, R: f \ notin \ mathfrak {p} \} , Де f - Довільний елемент кільця R .

Легко перевіряються наступні твердження:

D_1 = \ operatorname {Spec} \, R
D_f \ cap D_g = D_ {fg}
D_f = \ emptyset , Тоді і тільки тоді, коли f - нільпотентні елемент.

З цих формул випливає, що сімейство всіх підмножин виду D_f є покриттям спектру, замкнутим щодо перетинів, тобто (після викидання порожніх підмножин) є базисом деякої топології. Відкритими множинами в цій топології є будь-які (в тому числі, будь-якої потужності) об'єднання множин з базису.

З останніх двох формул легко вивести, що для спектрів цілісних кілець ніякі дві точки не віддільні по Хаусдорфу.

Топологія спектру кільця завжди компактна (точніше, квазікомпактна, - цей термін застосовується у відсутність Гаусдорфів віддільності). Якщо система множин \ {D_f: f \ in A \} є покриттям спектру, це означає, що ідеал кільця R, породжений множиною A, містить одиницю. Тобто справедливо рівність: 1 = a_1f_1 + a_2f_2 + \ cdots + a_nf_n , В якому елементи f_i є елементами множини A, а a_i - Деякі коефіцієнти, елементи кільця R. Але тоді \ {D_ {f_1}, D_ {f_2}, \ cdots, D_ {f_n} \} - Шукане кінцеве подпокритіе спектру. Аналогічно доводиться (квазі) компактність множин D_f . (Слід зауважити, що у відсутність Гаусдорфів, компактне підмножина не зобов'язане бути замкнутим!)

2 спосіб. Другий спосіб ввести топологію Зарисского на спектрі кільця - вказати всі замкнуті підмножини. Замкнутими множинами спектру є безлічі виду

V (\ mathfrak {a}) = \ {\ mathfrak {p} \ in \ operatorname {Spec} \, R: \ mathfrak {a} \ subset \ mathfrak {p} \} , Де \ Mathfrak {a} - Довільний (не обов'язково простий) ідеал кільця R .

Легко перевіряються наступні формули:

V (\ mathfrak {a}) \ cup V (\ mathfrak {b}) = V (\ mathfrak {a} \ mathfrak {b}) , Де \ Mathfrak {a} \ mathfrak {b} - Добуток відповідних ідеалів.
\ Cap_ {\ alpha} V (\ mathfrak {a_ {\ alpha}}) = V (\ sum_ {\ alpha} \ mathfrak {a_ {\ alpha}})
V ((0)) = \ operatorname {Spec} \, R
V ((1)) = \ emptyset ,

з яких випливає, що сімейство множин виду V (\ mathfrak {a}) задовольняє аксіомам системи всіх замкнутих множин топологічного простору. Відкритими множинами є доповнення до цих множинам.

При такому описі топології легко бачити, що якщо \ Mathfrak {p} _1 \ subset \ mathfrak {p} _2 - Два простих ідеалу, то точка \ Mathfrak {p} _2 лежить в замиканні точки \ Mathfrak {p} _1 . Таким чином, замкнутими точками в цій топології є максимальні ідеали і тільки вони.

Також, використовуючи друге визначення топології Зарисского, легко довести, що відображення спектрів \ Varphi ^ * , Індуковане (див. вище) гомоморфизмом кілець \ Varphi: A \ rightarrow B , Безперервно. Для доказу достатньо перевірити формулу

(\ Varphi ^ *) ^ {-1} (V (\ mathfrak {a})) = V (\ varphi (\ mathfrak {a})) , Де \ Mathfrak {a} - Довільний ідеал кільця A.

Еквівалентність топологій. Для доведення еквівалентності обох топологій, достатньо перевірити формули:

V (\ mathfrak {a}) ^ c = \ cup_ {f \ in \ mathfrak {a}} D_f
\, D_f = V ((f)) ^ c , Де V ^ c позначає додаток безлічі V , А (f) - ідеал, породжений елементом f.

Перша з цих формул означає, що підмножина спектру, відкрите щодо другої топології, є відкритим і в першій, а друга - що всі множини, складові базис перший топології, є відкритими і в другій.


Структурний пучок спектру

Структурний пучок на спектрі (пучок локальних кілець), можна задати за допомогою його перетинів над довільним відкритим безліччю U спектра. Для цього вводиться поняття дробів, регулярних відносно простого Ідель.

Дріб f / g називається регулярною в точці \ Mathfrak {p} \ in \ operatorname {Spec} \, R , Якщо її знаменник g не належить \ Mathfrak {p} . Область регулярності дробу f / g - Це все прості ідеали кільця (всі точки спектру), в яких ця дріб регулярна. Очевидно, вона збігається з відкритим безліччю D_g , Таким чином регулярність дробу - це відкрите властивість. Слід також зазначити, що при такому визначенні еквівалентні дробу можуть мати різні області регулярності.

Перетин структурного пучка \ Mathcal {O} над U - це клас еквівалентних дробів, такий що для кожної точки \ Mathfrak {p} з U мається представник цього класу, регулярний в точці \ Mathfrak {p} . Безліч всіх перетинів \ Mathcal {O} над U має структуру кільця.

Доводиться, що кільце дробів, регулярних в точці \ Mathfrak {p} збігається з локалізацією R_ {\ mathfrak {p}} кільця R по простому ідеалу \ Mathfrak {p} , Таким чином, це кільце є локальним.

Доводиться, що кільце перетинів структурного пучка над відкритим безліччю виду D_f збігається з кільцем R [f ^ {-1}] . Зокрема, з цього випливає, що глобальними перерізами пучка \ Mathcal {O} є тільки елементи кільця R (так як \ Operatorname {Spec} \, R збігається з безліччю D_1 ).

Гомоморфізм кілець індукує гомоморфізм спектрів, оснащених топологією і структурним пучком локальних кілець. Вірно і зворотне: кожен такий морфізм спектрів двох кілець породжений деяким гомоморфизмом між самими кільцями.


Література

  • Хартсхорн, "Алгебраїчна геометрія", Москва, "Світ", 1981 рік.
  • Мамфорд, "Червона книга про многовидах і схемах", Москва, "МЦМНО", 2007 рік.