Спектр оператора

План:

1 Конечномерное випадок
2 Загальне визначення
- 2.1 Примітки
3 У квантовій механіці
- 3.1 Безперервний спектр

Введення

Спектр оператора - безліч чисел, що характеризує лінійний оператор. Застосовується в лінійній алгебрі, функціональному аналізі і квантовій механіці.

1. Конечномерное випадок

Нехай A - оператор, що діє в скінченновимірних лінійному просторі E. Спектром оператора називається безліч всіх його власних значень.

Квадратну матрицю n n можна розглядати як лінійний оператор в n-мірному просторі, що дозволяє перенести на матриці "операторні" терміни. У такому випадку говорять про спектр матриці.

2. Загальне визначення

Нехай A - оператор, що діє в банаховому просторі E над $\ Mathbb C$ . Число λ називається регулярним для оператора A, якщо оператор $R (\ lambda) = (A - \ lambda I) ^ {-1}$ , Званий резольвенти оператора A, визначений на всьому E і безперервний. Безліч регулярних значень оператора A називається резольвентним безліччю цього оператора, а доповнення резольвентного безлічі - спектром цього оператора. Спектр оператора являє собою компакт в $\ Mathbb C$ . Спектр лінійного обмеженого оператора непорожній.

Усередині спектру оператора можна виділяти частини, не однакові за своїми властивостями. Однією з основних класифікацій спектру є наступна:

дискретним (точковим) спектром називається безліч всіх власних значень оператора A - тільки точковий спектр присутній в скінченновимірних випадку;
безперервним спектром називається безліч значень $\ Lambda$ , При яких резольвенти $(A - \ lambda I) ^ {-1}$ визначена на всюди щільному безлічі в E, але не є безперервною;
залишковим спектром називається безліч точок спектра, що не входять ні в дискретну, ні в безперервну частини.

Максимум модулів точок спектра оператора A називається спектральним радіусом цього оператора і позначається через r (A) . При цьому виконується рівність $r (A) = \ lim_ {n \ to \ infty} \ | A ^ n \ | ^ {1 / n}$ .

У комплексному випадку резольвенти є голоморфних операторнозначной функцією на резольвентном множині. Зокрема, при $\ Lambda> r (A)$ вона може бути розкладена в ряд Лорана з центром в точці z = 0 .

2.1. Примітки

3. У квантовій механіці

Спектр самосопряженних операторів відіграє важливу роль в квантовій механіці, визначаючи безліч можливих значень спостережуваної при вимірі. Зокрема, спектр гамільтоніана визначає допустимі рівні енергії квантової системи.

3.1. Безперервний спектр

Безперервний спектр - це спектр значень фізичної величини, в якому на відміну від дискретного спектра значення цієї величини визначено для кожного власного стану системи, причому нескінченно мала зміна стану системи призводить до нескінченно малому зміни фізичної величини. В якості фізичної величини можуть виступати: Координа, імпульс, енергія, орбітальний момент руху і т. д. Так як довільна хвильова функція Ψ може бути розкладена в ряд по власних функціях величини з дискретним спектром, то вона може бути також розкладена і в інтеграл по повній системі власних функцій величини з безперервним спектром.