Среднетоновий лад

Среднетоновий лад ( ньому. mitteltnige Stimmung , англ. meantone tuning ) Або среднетоновая темперації - музичний лад ( темперації), заснований на послідовному ланцюзі квінт, кожна з яких темперованого (зменшена в порівнянні з акустично чистої [1]) на одну і ту ж величину. Таким чином, в среднетоновом ладі всі квінти в квинтовое ланцюга акустично рівні, тобто мають одне і те ж відношення частот звуків (така властивість ладу часто також називають регулярністю [2]). Характерною особливістю среднетонових строїв є наявність у них "середніх цілих тонів" (звідси і назва): в таких строях велика секунда є точною половиною великої терції (щодо даного ладу).

Особливе місце серед среднетонових строїв займає лад, в якому все квінти в квинтовое ланцюга темперованого на 1/4 дідімовой комм : в ньому великі терції, одержувані в результаті відкладання чотирьох темперованого таким чином квінт з перенесенням в загальну октаву [3], виявляються акустично чистими (тобто що мають відношення частот 5:4). Часто термін "среднетоновий" відносять виключно до цього строю.


1. Термінологія та історичні зауваження

Схема розподілу монохорда
в среднетоновом ладі на 2/7 комм
(З "Основ гармоніки" Дж. Царлино, 1558)
Схема поділу монохорда
в среднетоновом ладі на 1/4 комм
(З "Доказів гармоніки" Дж. Царлино,
2-е изд., 1589)

Величина, на яку темперующі квінти в среднетоновом ладі, специфікується в його назві, причому вона зазвичай виражається в частках дідімовой комм: наприклад, "среднетоновий лад на 2/7 комм" ( англ. 2/7-comma meantone ) - Це лад, в якому все квінти в квинтовое ланцюга темперованого (зменшені) на 2/7 (дідімовой) комм. Визначення среднетонового ладу на 2/7 комм у Дж. Царлино (1558) [4] є першим документальним математично строгим описом темперованого ладу (у власному розумінні цього терміна) [5].

Среднетоновий лад на 1/4 комм ( англ. 1/4-comma meantone або quarter-comma meantone) був вперше описаний Дж. Царлино (1571) [6] та Ф. Салінас (1577) [7]. М. Преторіус (1619) [8] дав як практичний метод настройки органу у среднетоновом ладі на 1/4 комм, так і вельми повне теоретичне опис останнього. У зв'язку з цим даний лад також отримав назву "преторіанської" (преторіева, ньому. prtorianische Stimmung ), Особливо уживане в німецькій літературі, починаючи з XVII століття (у А. Веркмейстера та ін.)

Середній цілий тон (велика секунда) "преторіанської" ладу, на відміну від більшого (9:8) і меншого (10:9) цілих тонів чистого ладу, є точною половиною чистої великої терції (5:4), і, крім того, є середнім між більшим і меншим цілими тонами.

Згідно із загальним визначенням, до среднетоновим будувати відноситься і рівномірно темперований, оскільки в ньому всі квінти темперованого на одну і ту ж величину - 1/12 Піфагора комм [9]. Цілий тон в рівномірно темперований стрій є середнім, ділячи рівно навпіл рівномірно темперований велику терцію [10].

У російській науково-популярній літературі (наприклад, у А. М. Волконського) замість терміна "среднетоновий" зустрічається також термін "мезотоніческій", що є морфологічної передачею французького та італійського термінів ( фр. Temprament msotonique , італ. Temperamento mesotonico ) [11].


2. Среднетоновий лад на 1/4 комм ("преторіанської")

2.1. Теоретична основа

Якщо в ланцюжку з чотирьох квінт - наприклад,

CGdae 1,

всі квінти налаштовані суто (мають співвідношення звукових частот 3:2), то велика терція CE, утворена "по її краях" (з урахуванням перенесення звуку e 1 на дві октави вниз має співвідношенням звукових частот 81:64), виявляється великою терцією піфагорейського ладу ( Дітон). Велика терція піфагорейського ладу ширше більш милозвучно великої терції чистого ладу (5:4) на дідімову комму (81:80). Отже, якщо кожну квінту у наведеній ланцюжку темперувати (майже невідчутно для слуху змінити) із зменшенням на 1/4-ю частина дідімовой комм, то велика терція через дві октави Ce 1 по краях ланцюжка буде чисто налаштованим, тобто звучним без биття інтервалом натурального звукорядв між обертонами 1 і 5. Співвідношення звукових частот 1/4-й частині дідімовой комм одно

\ Sqrt [4] {\ frac {81} {80}} = \ sqrt [4] {\ frac {3 ^ 4} {2 ^ 4 \ cdot5}} = \ frac32 \ cdot \ frac1 {\ sqrt [4] 5} ,

що робить співвідношення звукових частот среднетоновой квінти (квінти, зменшеної на 1/4-ю частина дідімовой комм), рівним

\ Frac32: \ left (\ frac32 \ cdot \ frac1 {\ sqrt [4] 5} \ right) = \ sqrt [4] 5 [12], або 696,5784 цента.

2.2. Порівняння з інтервалами чистого ладу

У наступній таблиці наведено порівняння основних інтервалів "преторіанської" ладу з інтервалами чистого ладу. Символом \ Beta позначено відношення частот комм [13].

Інтервал среднетонового
ладу на комм
Q O Ставлення
частот
Зв'язок з інтервалами чистого ладу Величина
в центах
збільшена прима,
хроматичний півтон
7 -4 \ Frac {25} {16 \ sqrt [4] {5}} \!\ = \ Frac {25} {24} \ beta \! перевершує менший хроматичний півтон чистого ладу (25:24) на комм 76,05
мала секунда,
діатонічний півтон
-5 3 \ Frac {8} {5 \ sqrt [4] {5}} \!\ = \ Frac {16} {15} \ beta \! перевершує менший діатонічний півтон чистого ладу (16:15) на комм 117,11
велика секунда,
(Середній) цілий тон
2 -1 \ Frac {\ sqrt5} {2} \!\ = \ Frac {10} {9} \ beta ^ 2 = \ frac98: \ beta ^ 2 = \!
\ = \ Sqrt {\ frac {10} 9 \ cdot \ frac98} = \ sqrt {\ frac54} \!
більше меншого цілого тону (10:9) на комм і менше більшого цілого тону (9:8) на комм;

середній між цими цілими тонами; точна половина чистої великої терції (5:4)

193,16
мала терція -3 2 \ Frac45 \ sqrt [4] 5 \!\ = \ Frac65: \ beta \! менше чистої малої терції (6:5) на комм 310,26
велика терція 4 -2 \ Frac54 \! є чистою великою терцією 386,31
кварта -1 1 \ Frac2 {\ sqrt [4] 5} \!\ = \ Frac43 \ beta \! перевершує чисту кварту (4:3) на комм 503,42
квінта 1 0 \ Sqrt [4] 5 \!\ = \ Frac32: \ beta \! менше чистої квінти (3:2) на комм 696,58
мала секста -4 3 \ Frac85 \! є чистою малої секстою 813,69
велика секста 3 -1 \ Frac5 {2 \ sqrt [4] 5} \!\ = \ Frac53 \ beta \! більше чистої великий сексти (5:3) на комм 889,74

2.3. Побудова

Основний тон: C, початок побудови Es і далі по квінтове коло

Побудова звукоряду можна провести як і в піфагорейської ладі, тільки взявши в якості основи не чисту квінту а среднетоновую, яка має відношення частот:

\ Frac {3} {2}: \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ {0 {,} 25} .

Позначення ноти Відношення частоти до тонік
Es \ Frac {8} {27} \ cdot \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ {0 {,} 75} \ cdot 4
B \ Frac {4} {9} \ cdot \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ {0 {,} 5} \ cdot 4
F \ Frac {2} {3} \ cdot \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ {0 {,} 25} \ cdot 2
C \ Frac {1} {1} = 1
G \ Frac {3} {2}: \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ {0 {,} 25}
D \ Frac {9} {4}: \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ {0 {,} 5} \ cdot \ frac {1} {2}
A \ Frac {27} {8}: \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ {0 {,} 75} \ cdot \ frac {1} {2}
E \ Frac {81} {16}: \ frac {81} {80} \ cdot \ frac {1} {4} = \ frac {5} {4}
H \ Frac {243} {32}: \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ {1 {,} 25} \ cdot \ frac {1} {4}
Fis \ Frac {729} {64}: \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ {1 {,} 5} \ cdot \ frac {1} {8}
Cis \ Frac {2187} {128}: \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ {1 {,} 75} \ cdot \ frac {1} {16}
Gis \ Frac {6561} {256}: \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ 2 \ cdot \ frac {1} {16} = \ frac {25} {16}

Таким чином можна отримати наступні інтервали

  • Вісім чистих великих терцій: Es-G, BD, FA, CE, GH, D-Fis, A-Cis, E-Gis
  • Одинадцять среднетонових квінт: Es-B, BF, FC, CG, GD, DA, AE, EH, H-Fis, Fis-Cis, Cis-Gis
  • Одну збільшену вовчу квінту (зменшену сексту): Gis-Es із співвідношенням частот
2 \ cdot \ frac {32} {27} \ cdot \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ {0 {,} 75} \ cdot \ frac {16} {25} = \ frac {1024 } {675} \ cdot \ left (\ frac {81} {80} \ right) ^ {0 {,} 75} \ approx \ frac {3 {,} 0625} {2} \ approx 737 {,} 64 \ , \ mathrm {Cent}
  • Чотири кілька завищених великих терцій (зменшені кварти): H-Es, Fis-B, Cis-F, Gis-C
\ Frac {32} {25} \ approx 427 {,} 37 \, \ mathrm {Cent}

Наявність завищених терцій пов'язано з наявністю малої Діес, тобто з нерівністю трьох великих терцій одній октаві.


3. Інші среднетоновие будів

Примітки

  1. Тобто має відношення частот звуків 3:2.
  2. Термін сходить до en: Р. Бозанкетом. В іншій термінології (особливо властивою сучасної математичної теорії музичних строїв), регулярним ладом (темперацією) називають абстрактно-математичний лад, що складається з нескінченної кількості звуків (ступенів), відносні частоти яких утворюють (природним чином) конечнопорожденную вільну абелевих груп - Ср, наприклад, en: Regular Temperament.
  3. Наприклад, терція CE виходить чотирма квинтовое кроками: CGDAE.
  4. Istitutioni harmoniche (1-е изд., 1558) II, 42-47.
  5. Див, наприклад, Rasch, R. Tuning and Temperament / / The Cambridge History of Western Music Theory. - NY: Cambridge University Press, 2002. - P. 193-222. - ISBN 0521623715.
  6. Dimostrationi harmoniche (1-е изд., 1571), p. 263-269. У літературі, починаючи з А. Дж. Елліса, довгий час панувала думка про те, що среднетоновий лад на 1/4 комм був вперше описаний П. Аароном в останній главі книги Il Toscanello della Musica (1523). Однак опис Аарона має загальний характер, без зазначення величин темперації. Його вимога робити терції "звучними і чистими, тобто злитими, наскільки можливо" (sonora & giusta, cioe unita al suo possibile) не можна завжди розуміти буквально як вимогу їх акустичної чистоти (5:4), оскільки далі він явно вказує на їх темперування у своїй настройці (per laqual participatione, restano spuntate overo diminute, le terze & seste). Див докладний аналіз темперації П. Аарона, наприклад, у статті Lindley, M. Early 16th-Century Keyboard Temperaments / / Musica Disciplina. - 1974. - Т. 28. - P. 129-151. ; JSTOR 20532169 - www.jstor.org/pss/20532169. Крім того, Царлино, визначаючи среднетоновий лад з темперації квінт на 1/4 комм, називає його новим.
  7. De musica libri septem, Liber III, Cap. XIII-XIV. Салінас відзначає, що до цього строю він прийшов незалежно від Царлино: "Eam nos, dum essemus Romae iuvenes, excogitasse videbamur, et postea a Iosepho Zarlino traditam invenimus, nihil ab ea, quam nos excogitaueramus, discrepantem" ("У молодості, коли я був у Римі, мені здавалося, що це [саме] я винайшов, а пізніше я виявив, що це ж виклав Дж. Царлино, і те, що він виклав, ні в чому не відрізнялося від того, що винайшов я ".) Поїздка Салінаса в Рим відбулася в 1538 році - задовго до публікації їм і Царлино опису среднетонового ладу на 1/4 комм.
  8. Syntagma Musicum, T. II De Organographia, IV Theil, Cap. IV
  9. Оскільки 1/12 частина Піфагора комм практично дорівнює 1/11 частини дідімовой (різниця між цими частинами комм становить менше 0,00012 цента), рівномірно темперований лад багатьма авторами також класифікується як среднетоновий лад на 1/11 (дідімовой) комм - відмінність такого ладу від точно розрахованого рівномірно-темперованого має лише формально-математичний характер.
  10. Іноді формально-математично до среднетоновим будувати відносять і Піфагором лад, в якому все квінти в квинтовое ланцюга - чисті, тобто не темперованого або, іншими словами, "темперованого на нульову величину". З такої точки зору Піфагором лад є "среднетоновим ладом на 0 часткою комм". Цілий тон Піфагора ладу (9:8) є точною половиною Дітон, тобто великої терції Піфагора ладу (81:64).
  11. В англійській науковій літературі кінця XIX - початку XX століття також вживався термін mesotonic (наприклад, А. Дж. Еллісом).
  12. Співвідношення частот звуків x квінти "преторіанської" ладу можна також отримати з рівняння x ^ 4 \,: \, (2/1) ^ 2 = 5/4 , Що виражає співвідношення "чотири квінти" преторіанської "ладу без двох октав дають велику терцію чистого ладу".
  13. Тобто \ Beta = \ sqrt [4] {\ frac {81} {80}} = \ frac32 \ cdot \ frac1 {\ sqrt [4] 5} .