Ступені свободи (фізика)

Ступені свободи - характеристики руху механічної системи. Число ступенів свободи визначає мінімальну кількість незалежних змінних (узагальнених координат), необхідних для повного опису руху механічної системи.

Також число ступенів свободи одно повного числа незалежних рівнянь другого порядку (таких, як рівняння Лагранжа) або половині числа рівнянь першого порядку (таких, як канонічні рівняння Гамільтона), повністю описують ^[1] динаміку системи.

1. Стан фізичної системи

Переважна більшість фізичних систем може перебувати не в одному, а в багатьох станах, описуваних як безперервними (наприклад, координати тіла), так і дискретними (наприклад, квантові числа електрона в атомі) змінними. Незалежні "напряму", змінні, що характеризують стан системи, називаються ступенями свободи.

При цьому важливо відзначити, що число ступенів свободи одно мінімальній кількості таких змінних, необхідного для повного опису стану системи. Наприклад, положення математичного маятника можна характеризувати як кутом його повороту навколо осі, так і двома координатами положення матеріальної точки відносно осі. Однак у такого маятника всього лише одна міра свободи, а не дві (як може здатися в другому випадку), оскільки одного лише кута повороту достатньо для опису положення цієї системи в будь-який момент часу.

1.1. Приклади

• Найпростіша механічна система - матеріальна точка в тривимірному просторі - володіє трьома ступенями свободи, так як її стан повністю описується трьома просторовими координатами.
• Абсолютно тверде тіло володіє шістьма ступенями свободи, так як для повного опису положення такого тіла достатньо задати три координати центру мас і три кути, що описують орієнтацію тіла (ці величини відомі в побуті як "нахил, підйом, поворот", в авіації їх називають " крен, тангажа, рискання ").
• Реальні тіла володіють величезним числом ступенів свободи (порядка числа частинок, з яких складається тіло). Однак у більшості ситуацій виявляється, що найбільш важливі лише кілька "колективних" ступенів свободи, що характеризують рух центру мас тіла, його обертання, його деформацію, його макроскопічні коливання. Решта ж - мікроскопічні - ступені свободи не помітні окремо, а сприймаються відразу всі разом, як, наприклад, температура і тиск.

2. Узагальнені координати

Поняття ступеня свободи пов'язане з таким поняттям, як розмірність. В математиці розмірність - це кількість незалежних параметрів, необхідних для опису стану об'єкта, або, іншими словами, для визначення його положення в неком абстрактному просторі.

При математичному описі стану фізичної системи N ступенями свободи відповідають N незалежних змінних, званих узагальненими координатами.

У разі безперервних ступенів свободи відповідні узагальнені координати приймають безперервний ряд значень. Однак можна розглядати і дискретні ступені свободи.

2.1. Приклади

• Для того, щоб описати стан окружності на площині, досить трьох параметрів: двох координат центру і радіусу, тобто простір окружностей на площині трехмерно. Окружність може бути переміщена в будь-яку точку площини і її радіус може бути змінений, тому у неї три ступені свободи.
• Для того, щоб визначити координати об'єкта на географічній карті, потрібно вказати широту і довготу. Відповідне простір тому називається двовимірним. Об'єкт може розташовуватися в будь-якій точці, тому в кожного об'єкта на карті два ступені свободи.
• Для завдання положення літака потрібно вказати три координати - додатково до широті і довготі потрібно знати висоту, на якій він знаходиться. Тому простір, в якому знаходиться літак, є тривимірним. До цих трьох координатах може бути додана четверта (час) для опису не тільки поточного положення літака, але і моменту часу. Якщо додати до модель орієнтацію ( крен, тангажа, рискання) літака, то додадуться ще три координати і відповідне абстрактне простір моделі стане семімерним.

3. Ступені свободи в статистичній фізики та термодинаміки

У статистичній фізики та термодинаміки кажучи про ступені свободи іноді мають на увазі тісно пов'язане з описаним вище, але кілька модифіковане поняття.

Справа в тому, що в цьому випадку насамперед цікавить повна енергія, що припадає на ступінь свободи. А у кожної коливальної ступеня свободи є як кінетична, так і потенційна енергія.

Класична теорема про розподіл енергії за ступенями свободи ^[2] говорить: при термодинамічній рівновазі кінетична енергія в середньому рівномірно розподіляється по всіх ступенях свободи, за kT / 2 на кожну ступінь свободи. При цьому на кожну ступінь свободи, що має і потенційну енергію (залежну від даної координати), потенційна енергія також додається до повної енергії системи, а для коливальних ступенів свободи середня кінетична і середня потенційна енергія рівні (це твердження є точним для гармонійних осциляторів, проте є хорошим наближенням і при деякому Ангармонізм).

Таким чином, виявляється, що при обчисленні внутрішньої енергії системи кожна коливальна ступінь свободи враховується двічі. Тому іноді, для простоти підрахунків використовують формулу

де під розуміють кількість ступенів свободи не в звичайному сенсі, а в сенсі розподілу повної енергії, тобто кожна коливальна ступінь свободи враховується двічі (як "коливальна кінетична" плюс як "коливальна потенційна", тобто в цьому сенсі можна говорити, що кожній коливальної ступеня свободи відповідають два ступені свободи в термодинамічній сенсі. Решта ступеня свободи (поступальні і обертальні) враховуються просто, без подвоєння (так як цим видам руху відповідає нульова - кажучи точніше, пренебрежимо мала - потенційна енергія).

Таким чином, в статистичній фізиці нерідко під ступенями свободи розуміють координати не в конфігураційному просторі, а в фазовому просторі, тобто вважають за різні ступені свободи узагальнені координати і узагальнені імпульси. У цьому випадку вносять однаковий в класичному наближенні (тобто з деякими застереженнями - просто при досить високих температурах) внесок у повну енергію - по кожна - тільки такі, які входять у вираз для енергії квадратичне.

4. Виморожування ступенів свободи

Квантовомеханічний розгляд показує, що різні ступені свободи можуть бути активні або неактивні ось у якому сенсі. Якщо деякий рух має дискретний спектр (а дискретний спектр відповідає всякому пов'язаному станом), то воно може порушуватися (система переходити на більш високий енергетичний рівень) лише при поглинанні енергії більшою, ніж різниця енергії першого збудженого і основного стану (енергії збудження). Тому якщо система (молекула, атом) спочатку знаходиться в основному стані і відбувається взаємодія з часткою, яка може віддати лише енергію меншу, ніж енергія збудження (наприклад з фотоном більш низької енергії або з молекулою, енергія руху якої менша, ніж цей поріг) дана ступінь свободи ніяк не виявляється (рух, пов'язаний з нею, не може виникнути; кажучи точніше, воно не може змінитися, ця ступінь свободи залишається в основному стані). Це називається виморожуванням ступеня свободи (звичайно ж, навіть у однієї і тієї ж системи різні ступені свободи можуть мати однакові або різні енергії збудження, і тому бути виморожена або не виморожена для взаємодії з частинками різних енергій).

Це повною мене відноситься до прояву різних ступенів свободи при різних температурах.

Дійсно, при певній температурі енергія руху частинок має в середньому величину порядку k T, отже всі ступені свободи, енергія збудження яких багато більше, будуть виморожени (їх можна не враховувати в статистиці). У зв'язку з цим для кожної конкретної міри свободи кожної системи (атома, молекули, кристала і т. д.) вводиться поняття температури виморожування (рівною енергії збудження, діленої на постійну Больцмана). При температурах багато нижче температури виморожування ступінь свободи не проявляється (знаходиться в основному стані і звичайно може просто ніяк не враховуватися), при багато великих - ступінь свободи повністю "включена" і рух по ній може розглядатися як класичне, при температурах ж порядку температури виморожування відбувається поступове ^[3] включення ступеня свободи при підвищенні температури або поступове вимикання при пониженні.

Описане пояснює зміну теплоємності різних речовин з температурою. Класична статистична фізика говорить про рівномірний розподіл енергії за ступенями свободи (тут термін ступінь свободи розуміється в термодинамічній сенсі, див. вище). Однак очевидно, що насправді (враховуючи квантовомеханічних корекцію) це твердження слід відносити тільки до "включеним" ступенями свободи, тобто виключаючи виморожена. Отже, молярна теплоємність буде

де k - постійна Больцмана, N _f - кількість ступенів свободи даного типу в розглянутій системі (зокрема, якщо мова йде про сукупність молекул, де N - кількість молекул, i - кількість ступенів свободи однієї молекули).

5. Ступені свободи молекули

Формула внутрішньої енергії газу:

,

і прямо пов'язана з нею формула для середньої енергії молекули газу

,

де

- Кількість ступенів свободи молекули газу,

- кількість газу ( - маса, - молярна маса газу),

- універсальна газова стала,

- константа Больцмана,

- абсолютна температура газу,

- Включають кількість ступенів свободи молекули.

Ступені свободи молекули виморожувати, як це описано в параграфі вище, що означає, що ефективне i в формулі залежить від температури і, взагалі кажучи, не може бути просто обчислено класичним механічним способом.

Всі обертальні ступені свободи у одноатомних молекул і обертальна ступінь свободи, відповідна обертанню навколо поздовжньої осі у лінійних (в реальному геометричному сенсі) молекул, виморожени (тобто не повинні враховуватися в i) завжди, оскільки їх температури виморожування настільки високі, що дисоціація молекул відбувається набагато раніше, ніж ці температури досягаються.

Примітки