Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Тангенціальне прискорення



План:


Введення

Розкладання прискорення \ Mathbf a (t) \ \ на тангенціальне \ Mathbf a_ \ tau \ \ і нормальне \ Mathbf a_n ; ( \ Mathbf \ tau - Одиничний дотичний вектор).

Тангенціальне прискорення - компонента прискорення, спрямована по дотичній до траєкторії руху. Характеризує зміну модуля швидкості. ( Нормальна компонента характеризує зміну напряму швидкості.) Рівно твору одиничного вектора, спрямованого по швидкості руху, на похідну модуля швидкості за часом. Таким чином, спрямоване в ту ж сторону, що і вектор швидкості при прискореному русі (позитивна похідна) і в протилежну при сповільненому (негативна похідна).

Позначається зазвичай символом, обраним для прискорення, з додаванням індексу, що позначає тангенціальну компоненту: \ Mathbf a_ \ tau \ \ або \ Mathbf a_t \ \ , \ Mathbf w_ \ tau \ \ , \ Mathbf u_ \ tau \ \ і т.д.

Іноді використовується не векторна форма, а скалярна - a_ \ tau \ \ , Що позначає проекцію повного вектора прискорення на одиничний вектор дотичної до траєкторії, що відповідає коефіцієнту розкладу по супутнього базису.


1. Формула

Величину тангенціального прискорення - в сенсі проекції вектора прискорення на одиничний дотичний вектор траєкторії - можна виразити так:

a_ \ tau = \ frac {dv} {dt},

де v \ = dl / dt - Шляхова швидкість вздовж траєкторії, що збігається з абсолютною величиною миттєвої швидкості в даний момент.

Якщо використовувати для одиничного дотичного вектора позначення \ Mathbf e_ \ tau \ , То можна записати тангенціальне прискорення в векторному вигляді:

\ Mathbf a_ \ tau = \ frac {dv} {dt} \ mathbf e_ \ tau.

2. Висновок

2.1. Висновок 1

Вираз для тангенціального прискорення можна знайти, продифференцировав по часу вектор швидкості, представлений у вигляді \ Mathbf v = v \, \ mathbf e_ \ tau через одиничний вектор дотичної \ Mathbf e_ \ tau :

\ Mathbf a = \ frac {d \ mathbf {v}} {dt} = \ frac {d (v \, \ mathbf e_ \ tau)} {dt} = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t} \ mathbf e_ \ tau + v \ frac {d \ mathbf e_ \ tau} {dt} = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t} \ mathbf e_ \ tau + v \ frac {d \ mathbf e_ \ tau} {dl} \ frac {dl} {dt} = \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t} \ mathbf e_ \ tau + \ frac {v ^ 2} {R} \ mathbf e_n \,

де перший доданок - тангенціальне прискорення, а друге - нормальне прискорення.

Тут використано позначення e_n \ для одиничного вектора нормалі до траєкторії і l \ - Для поточної довжини траєкторії ( l = l (t) \ ); В останньому переході також використано очевидне

dl / dt = v \

і, з геометричних міркувань,

\ Frac {d \ mathbf e_ \ tau} {dl} = \ frac {\ mathbf e_n} {R}.

2.2. Висновок 2

Хоча висновок 1 досить простий, особливо в частині тангенціального прискорення (першого члена), все ж для кращого розуміння істоти справи можна навести ще альтернативний висновок. Він зводиться до того, що, розглянувши зміна вектора швидкості за малий час dt \ , Ми помічаємо, що, якщо траєкторія гладка (що передбачається), то зміни напрямку вектора \ Mathbf v \ дадуть в проекції на дотичну малу величину не нижче другого порядку по dt \ , Якій можна по цьому знехтувати. У той же час зміна довжини вектора \ Mathbf v \ буде відрізнятися від проекції зміни \ Mathbf v \ на дотичну теж на величину не нижче другого порядку. Те й інше випливає з того, що кут вектора \ Mathbf v \ до дотичної буде не нижче першого порядку по dt \ . Звідси відразу ж слід бажана формула.

Говорячи менш суворо, проекція \ Mathbf v \ на дотичну при малих dt \ буде практично збігатися з довжиною вектора \ Mathbf v \ , Оскільки кут відхилення цього вектора від дотичної при малих dt \ завжди малий, а значить косинус цього кута можна вважати рівним одиниці [1].


3. Зауваження

Легко помітити, що абсолютна величина тангенціального прискорення залежить тільки від колійного прискорення, співпадаючи з його абсолютною величиною, на відміну від абсолютної величини нормального прискорення, яка від колійного прискорення не залежить, зате залежить від шляхової швидкості.

Примітки

  1. Для визначеності можемо вибрати ту дотичну, на якій лежить \ Mathbf v (t) \ , Тоді \ Mathbf v (t + dt) \ буде, очевидно, складати з ним - а значить і з нею - малий кут через малість dt \ ; Це тим більше буде виконуватися для будь-яких проміжків часу, менших ніж dt \ .



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Прискорення
Прискорення (гасло)
Доцентрове прискорення
Кутове прискорення
Апаратне прискорення
Прискорення вільного падіння
Прискорення вільного падіння
© Усі права захищені
написати до нас