Тангенціальнозначная форма

Тангенціальнозначние форми - це узагальнення диференціальних форм, при якому безліччю значень форми є дотичне розшарування до різноманіттю.


1. Визначення

Тангенціальнозначной формою на різноманітті M називається перетин тензорного твори дотичного і зовнішньої ступеня кокасательного розшарувань до різноманіття:

\ Omega \ colon M \ to \ left (\ wedge ^ k T ^ * M \ right) \ otimes_ {M} TM
\ Pi \ circ \ omega = \ imath d

2. Операції

  • Внутрішнє діфференіцрованіе
  • Зовнішнє диференціювання

2.1. Похідна Лі

Окремим випадком тангенціальнозначних форм є векторні поля. Похідна Лі від тензорного поля T по векторному полю X визначається стандартним чином:

L_X T = \ frac {d} {dt} g ^ t T

де g ^ t - фазовий потік, відповідний векторного поля X . Ця операція пов'язана з внутрішнім множенням \ Imath_X диференціальної форми на векторне поле і зовнішнім диференціюванням формулою гомотопий:

L_X = \ imath_X d + d \ imath_X

тобто

L_X = [\ imath_X, d]

де [\ Cdot, \ cdot] - Комутатор в градуйованою алгебрі диференційованості тангенціальнозначних форм. Для довільної тангенціальнозначной форми K похідна Лі визначається за аналогією:

L_K = [\ imath_K, d]
Властивості
  • [L_K, d] = 0

2.2. FN дужки

Дужки Frlicher-Nijenhuis (FN дужки) [\ Cdot, \ cdot] двох тангенціальнозначних форм K і F визначаються як така єдина тангенціальнозначная форма [K, F] , Для якої

[L_K, L_F] = L ([K, F])

Ця операція градуйованою антікоммутатівна і задовольняє градуйованому тотожності Якобі.


2.3. NR дужки

Дужки Nijenhuis-Richardson (NR дужки, алгебраїчні дужки) [\ Cdot, \ cdot] ^ \ wedge двох тангенціальнозначних форм K і F визначаються як така єдина тангенціальнозначная форма [K, F] ^ \ wedge , Для якої

[\ Imath_K, \ imath_F] = \ imath ([K, F] ^ \ wedge)

Ця операція градуйованою антікоммутатівна і задовольняє градуйованому тотожності Якобі. Явний вигляд для дужки двох форм K \ in \ Omega ^ {k +1} (M, TM) , F \ in \ Omega ^ {f +1} (M, TM) :

[K, F] ^ \ wedge = \ imath_k F - (-1) ^ {kf} \ imath_F K

3. Пов'язані визначення

Форма називається припаюють, якщо вона лежить в T ^ * M \ otimes TM .

Література