Знаймо![]() приховати рекламу
| Цей текст може містити помилки.
ВведенняТензор (від лат. tensus , "Напружений") - об'єкт лінійної алгебри. Окремими випадками тензорів є скаляри, вектори, матриці і Білінійні форми. Часто тензор представляють як багатовимірну таблицю Таке уявлення (за винятком тензорів валентності нуль - скалярів) можливе тільки після вибору базису (або системи координат), при зміні базису компоненти тензора змінюються певним чином. При цьому сам тензор як "геометрична сутність" від вибору базису не залежить. Це можна побачити на прикладі вектора, що є окремим випадком тензора: компоненти вектора змінюються при зміні координатних осей, але сам вектор - наочним образом якого може бути просто намальована стрілка - від цього не змінюється. Термін "тензор" також часто служить скороченням для терміна " тензорне поле ", вивченням яких займається тензорне числення. 1. Визначення1.1. Сучасне визначенняТензор рангу (N, m) над d -Мірним векторним простором V є елемент тензорного твори m просторів V і n сполучених просторів V * (Тобто просторів лінійних функціоналів ( ковекторов) на V ) Сума чисел n + m називається валентністю тензора (її також часто називають рангом). Тензор рангу (N, m) також називається n раз коваріантний і m раз контраваріантним.
1.2. Тензор як полілінейная функція Точно так само як коваріантний тензор рангу (1,0) можна представляти як лінійний функціонал, тензор τ рангу (N, 0) зручно уявляти собі як функцію У тому ж ключі, тензор τ довільного рангу (N, m) представляється полілінейним функціоналом від n векторів і m ковекторов: 2. Компоненти тензора Виберемо в просторі V базис Тоді в просторі тензорів
Довільний тензор Використовуючи угоду Ейнштейна це розкладання записується як Числа Якщо визначити тензор як полілінейную функцію, то його компоненти визначаються значеннями цієї функції на базисі 2.1. Про класичному визначенніКласичний підхід до визначення тензора, більш поширений у фізичній літературі, починає з представлення тензорів в компонентах. Тензор визначається як геометричний об'єкт, який описується багатовимірним масивом, тобто набором чисел, занумеровані кількома індексами, або, інакше кажучи, таблицею (взагалі кажучи, n -Мірної, де n - Валентність тензора (див. вище)). Так вектор (тензор першого рангу) задається одновимірним масивом (рядком або краще - стовпцем), а такі об'єкти як лінійний оператор і квадратична форма - двовимірної матрицею. Скаляр ж (тензор нульового рангу) задається одним числом (яке можна розглядати як нульмерние масив з єдиним елементом). (Скаляр і вектори зручно розглядати як окремі випадки тензорів, тому що всі тензорні визначення та теореми для них в силі і вектори зі скалярами можна при загальному розгляді не згадувати окремо). Вводятся тензорные операции, которые можно считать прямым обобщением матричных операций (умножение матриц между собой и с векторами), а также векторных операций, таких, как скалярное произведение. Эти операции, если исходить из современного (аксиоматического) определения, прямо вытекают из (поли-)линейности тензоров в этом определении, после разложения векторов, свёртываемых с тензорами, по базису векторного пространства, точно так же, как и матричные операции вытекают из линейности линейных операторов и билинейных форм, представлением каждого из которых в конкретном базисе является конкретная матрица. С помощью этих операций тензоры связываются с такими фундаментальными геометрическими объектами, как векторы и скаляры, чем, в конечном счёте, определяется их геометрический смысл. Эти же операции связывают тензоры с матрицами преобразований координат (матрицами якоби). Если речь идёт о тензорном анализе на (римановом или псевдоримановом, с которыми обычно имеют дело в классическом подходе, по крайней мере, на первом этапе) многообразии общего вида, все эти операции определяются обычно общековариантным способом (то есть способом, не зависящим от выбора криволинейных координат) с помощью метрического тензора. Основными тензорными операциями являются сложение, в этом подходе сводящееся к покомпонентному сложению, аналогично векторам, и свёртка - с векторами, между собой и сами с собой, обобщающая матричное умножение, скалярное произведение векторов и взятие следа матрицы. Умножение тензора на число (на скаляр) можно при желании считать частным случаем свёртки, оно сводится к покомпонентному умножению. Значения чисел в массиве, или компоненты тензора, зависят от системы координат, но при этом сам тензор, как геометрическая сущность, от них не зависит. Под проявлениями этой геометрической сущности можно понимать много что: различные скалярные инварианты, симметричность/антисимметричность индексов, соотношения между тензорами и другое. Например, скалярное произведение и длина векторов не меняется при поворотах осей, а метрический тензор всегда остаётся симметричным. Свёртки любых тензоров с самими собой и/или другими тензорами (в том числе векторами), если в результате не осталось ни одного индекса, являются скалярами, то есть инвариантами относительно замены координат: это общий способ построения скалярных инвариантов. При замене системы координат компоненты тензора преобразуются по определённому линейному закону. Зная компоненты тензора в одной координатной системе, всегда можно вычислить его компоненты в другой, если задана матрица преобразования координат. Таким образом, второй подход можно суммировать в виде формулы:
Например, компоненты тензора преобразуется так же, как компоненты тензорного произведения трёх векторов, то есть как произведение компонент этих векторов Так как преобразование компонент вектора известно, то таким образом можно легко сформулировать простейший из вариантов классического определения тензора. 3. Приклади
Как следует из определения, компоненты тензора должны меняться определённым образом синхронно с компонентами векторов того пространства, на котором он определён, при преобразовании координат. Поэтому не любая табличка или величина с индексами, выглядящая как представление тензора, на самом деле представляет тензор.
Существуют объекты, которые не только похожи на тензоры, но для которых определены (и имеют разумный и корректный смысл) тензорные операции (свёртка с другими тензорами, в частности, с векторами), однако при этом тензорами не являющиеся :
4. Тензорные операцииТензоры допускают следующие алгебраические операции:
5. СимметрииВ различного рода приложениях часто возникают тензоры с определённым свойством симметрии. Симметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который удовлетворяет следующему требованию: или в компонентах Аналогично определяется косая симметрия (или антисимметричность): или в компонентах Симетрія або антисимметрия не обов'язково повинна охоплювати тільки сусідні індекси, вона може включати в себе будь індекси, враховуючи, правда, таке: симетрія або антисимметрия може ставитися тільки до індексів одного сорту: ко-або контраваріантним. Симетрії ж, змішуючі ко-і контраваріантние індекси тензорів, як правило, не мають особливого сенсу, тому що, навіть якщо вони спостерігаються в компонентах, то руйнуються при переході до іншого базису віднесення (тобто неінваріантни). Втім, у присутності метричного тензора, наявність операцій підняття або опускання індексу усуває цю незручність, і обмеження цим по суті знімається, коли тензор представлений відповідним чином (так, наприклад, тензор кривизни Рімана Ці визначення природним чином узагальнюються на випадок більш ніж двох індексів. При цьому при будь перестановці індексів, по яких тензор є симетричним, його дія не змінюється, а при антисиметрії за індексами знак дії тензора змінюється на протилежний для непарних перестановок (отримуваних з початкового розташування індексів непарним числом транспозицій - перестановок двох індексів) і зберігається для парних . Існують і більш складні симетрії, наприклад перший тотожність Бьянкі для тензора кривизни. 6. Тензори у фізиціВ фізиці тензори широко використовуються в теоріях, що володіють геометричній природою (таких, як Загальна теорія відносності) або допускають повну або значну геометризації (до таких можна значною мірою віднести практично всі сучасні фундаментальні теорії - електродинаміка, релятивістська механіка і т. д.), а також у теорії анізотропних середовищ (які можуть бути анізотропни спочатку, як кристали низької симетрії, або внаслідок свого руху або напруг, як поточна рідина або газ, або як деформований тверде тіло). Крім того, тензори широко використовуються в механіці абсолютно твердого тіла. Лінійні оператори квантової механіки, звичайно, також можуть бути інтерпретовані як тензори над якимись абстрактними просторами (просторами станів), але традиційно таке застосування терміна тензор практично не використовується, як і взагалі вкрай рідко використовується для опису лінійних операторів над нескінченновимірних просторів. Взагалі у фізиці термін тензор має тенденцію застосовуватися тільки до тензора над звичайним фізичним 3-мірним простором або 4-мірним простором-часом, або, в крайньому випадку, над найбільш простими і прямими узагальненнями цих просторів, хоча принципова можливість застосування його в більш загальних випадках залишається. Прикладами тензорів у фізиці є:
Неважко помітити, що більшість тензорів у фізиці (не розглядаючи скалярів і векторів) мають всього два індекси. Тензори, що мають велику валентність (такі, як тензор Рімана в ЗТВ) зустрічаються, як правило, тільки в теоріях, що вважаються досить складними, та й то нерідко фігурують в основному у вигляді своїх згорток меншою валентності. Більшість симетрично або антисиметричною. Найпростішою ілюстрацією, що дозволяє зрозуміти фізичний (і почасти геометричний) сенс тензорів, а точніше - симетричних тензорів другого рангу, буде, ймовірно, розгляд тензора (питомої) електропровідності σ . Інтуїтивно зрозуміло, що анізотропна середовище, наприклад, кристал, або навіть якийсь спеціально виготовлений штучний матеріал, не буде в загальному випадку проводити струм однаково легко у всіх напрямках (наприклад, через форми і орієнтації молекул, атомних шарів або якихось надмолекулярних структур - можна уявити собі, наприклад, тонкі зволікання добре проводить металу, однаково орієнтовані та вплавлений в погано провідне середовище). Візьмемо за основу для простоти і конкретності, останню модель (добре проводять зволікання в погано провідному середовищі). Електропровідність вздовж зволікань буде великою, назвемо її σ 1 , А впоперек - маленькою, позначимо її σ 2 . (Ясно, що в загальному випадку (наприклад, коли зволікання сплюснені в перерізі і ця сплюснутістю також орієнтована у всіх зволікань однаково, електропровідність σ 3 буде відрізнятися від σ 2 , У разі ж круглих рівномірно розподілених зволікань - σ 2 = σ 3 , Але не рівні σ 1 ). Досить нетривіальний в загальному випадку, але досить очевидний в нашому прикладі, факт полягає в тому, що знайдуться три взаємно перпендикулярних напрями, для яких зв'язок вектора щільності струму тоді можна для кожної компоненти записати: І ми побачимо, що для будь-якого напрямку, не збігається з 1, 2 і 3, вектор Переходячи до довільних декартовим координатами, не збігається з цими виділеними напрямами, ми змушені будемо включити матрицю повороту для перетворення координат, і тому в довільній системі координат співвідношення між тобто тензор електропровідності буде представлений симетричною матрицею Враховуючи ж те, що питома потужність тепловиділення w в провіднику дорівнює скалярному добутку або де ρ - Питомий опір - матриця, зворотна матриці σ . Так ми наочно бачимо ще одне типове використання симетричного тензора другого рангу у фізиці - як квадратичної форми, перетворюючої вектор в скаляр.
Таким чином, ми отримали (правда, кажучи строго, тільки для випадку симетричного тензора) хороший наочний геометричний образ тензора, що застосовується у фізиці. Цей образ складається з ортогонального базису (званого власним базисом тензора або його власними координатами), орієнтованого в просторі певним чином (визначеним властивостями середовища, що породжує тензор), і трьох (для тривимірного простору) чисел (коефіцієнтів), пов'язаних кожне з однією з цих осей (званих власними числами або власними значеннями тензора), призначених для множення на них відповідних компонент вектора, щоб отримати компоненти вектора нового. Як бачимо, в окремому випадку σ 1 = σ 2 = σ 3 множення на тензор σ зводиться до множення на число (на скаляр). Або, множачи квадрати цих компонент (компонент у власному базисі тензора) вектора на власні числа, і склавши їх, отримуємо скаляр. Поверхні рівня такої квадратичної форми - еліпсоїди. Такий еліпсоїд служить також гарним геометричним чином тензора. Напрям його головних осей - дає власний базис тензора, а їх величини - визначають його власні числа. В алгебрі ж все сказане ілюструє поняття власних векторів (власного базису) і власних чисел лінійного оператора, квадратичної форми або матриці, а процес знаходження власного базису і власних чисел (званий завданням на власні значення) називається діагоналізаціей оператора, квадратичної (або билинейной) форми або матриці (так як матриця, що представляє оператор або білінійну форму стає в цьому базисі діагональної). Література
Цей текст може містити помилки. Схожі роботи | скачати Схожі роботи: 4-тензор Метричний тензор Тензор деформації Симетричний тензор Тензор Річчі Тензор кривизни Тензор Вейля Тензор напружень Тензор кривизни |