Тензор

План:

1 Визначення
- 1.1 Сучасне визначення
- 1.2 Тензор як полілінейная функція
2 Компоненти тензора
- 2.1 Про класичному визначенні
3 Приклади
4 Тензорні операції
5 Симетрії
6 Тензори у фізиці

Введення

Тензор механічної напруги другого рангу. Компоненти тензора в тривимірній декартовій системі координат утворюють матрицю $\ Scriptstyle \ sigma = \ begin {bmatrix} \ mathbf {T} ^ {(\ mathbf {e} _1)} \ mathbf {T} ^ {(\ mathbf {e} _2)} \ mathbf {T} ^ {( \ mathbf {e} _3)} \ \ \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sigma_ {11} & \ sigma_ {12} & \ sigma_ {13} \ \ \ sigma_ {21} & \ sigma_ {22 } & \ sigma_ {23} \ \ \ sigma_ {31} & \ sigma_ {32} & \ sigma_ {33} \ end {bmatrix}$ стовпцями якої є сили, що діють на $\ Mathbf {e} _1$ , $\ Mathbf {e} _2$ , І $\ Mathbf {e} _3$ грані куба.

Тензор (від лат. tensus , "Напружений") - об'єкт лінійної алгебри. Окремими випадками тензорів є скаляри, вектори, матриці і Білінійні форми.

Часто тензор представляють як багатовимірну таблицю $d \ times d \ times \ cdots \ times d$ (Де d - Розмірність векторного простору, над яким поставлено тензор, а число співмножників співпадає з "валентністю тензора"), заповнену числами (компонентами тензора).

Таке уявлення (за винятком тензорів валентності нуль - скалярів) можливе тільки після вибору базису (або системи координат), при зміні базису компоненти тензора змінюються певним чином. При цьому сам тензор як "геометрична сутність" від вибору базису не залежить. Це можна побачити на прикладі вектора, що є окремим випадком тензора: компоненти вектора змінюються при зміні координатних осей, але сам вектор - наочним образом якого може бути просто намальована стрілка - від цього не змінюється.

Термін "тензор" також часто служить скороченням для терміна " тензорне поле ", вивченням яких займається тензорне числення.

1. Визначення

1.1. Сучасне визначення

Тензор рангу (N, m) над d -Мірним векторним простором V є елемент тензорного твори m просторів V і n сполучених просторів V ^* (Тобто просторів лінійних функціоналів ( ковекторов) на V )

$\ Begin {matrix} \ tau \ in T ^ m_n (V) & = & \ underbrace {V \ otimes \ ldots \ otimes V} & \ otimes & \ underbrace {V ^ * \ otimes \ ldots \ otimes V ^ *} \ \ & & m & & n \ end {matrix}$

Сума чисел n + m називається валентністю тензора (її також часто називають рангом). Тензор рангу (N, m) також називається n раз коваріантний і m раз контраваріантним.

NB часто терміном ранг користуються як синонімом певного тут терміна валентність. Також буває і протилежне, тобто використання терміна валентність у значенні ранг, визначеному тут.

1.2. Тензор як полілінейная функція

Точно так само як коваріантний тензор рангу (1,0) можна представляти як лінійний функціонал, тензор τ рангу (N, 0) зручно уявляти собі як функцію $\ Tau (v_1, v_2, \ ldots, v_n)$ від n векторних аргументів $v_i \ in V$ , Яка лінійна по кожному аргументу v _i (Такі функції називаються полілінейнимі), тобто для будь константи c з поля F (Над яким визначено векторний простір)

$\ Tau (v_1, \ ldots, cv_A, \ ldots, v_n) = c \ tau (v_1, \ ldots, v_A, \ ldots, v_n)$

У тому ж ключі, тензор τ довільного рангу (N, m) представляється полілінейним функціоналом від n векторів і m ковекторов:

$\ Tau (v_1, v_2, \ ldots, v_n, \ omega ^ 1, \ omega ^ 2, \ ldots, \ omega ^ m)$

$\ Tau: V ^ n \ times (V ^ *) ^ m \ to F$

2. Компоненти тензора

Виберемо в просторі V базис $\ {\ Mathbf {e} _1, \ mathbf {e} _2, \ ldots, \ mathbf {e} _d \}$ , І відповідно $\ {\ Mathbf {f} ^ 1, \ mathbf {f} ^ 2, \ ldots, \ mathbf {f} ^ d \}$ - Дуальний базис в зв'язаному просторі V ^* (Тобто $(\ Mathbf {e} _a \ cdot \ mathbf {f} ^ b) = \ delta_a ^ b$ , Де $\ Delta_a ^ b$ - символ Кронекера).

Тоді в просторі тензорів $\ Tau ^ n_m (V) = \ left (\ bigotimes_ {i = 1} ^ n V \ right) \ otimes \ left (\ bigotimes_ {i = 1} ^ m V ^ * \ right)$ природним чином виникає базис

$\ { 1 \ leqslant i_a, j_b \ leqslant d$ .

Довільний тензор $\ Tau \ in \ Tau ^ n_m (V)$ можна записати як лінійну комбінацію базисних тензорних творів:

$\ Tau = \ sum_ {j_1, j_2, \ ldots, j_n} \ sum_ {i_1, i_2, \ ldots, i_m} {\ tau ^ {i_1, i_2, \ ldots, i_m} _ {j_1, j_2, \ ldots, j_n}}$

Використовуючи угоду Ейнштейна це розкладання записується як

$\ Tau = {\ tau ^ {i_1, i_2, \ ldots, i_m} _ {j_1, j_2, \ ldots, j_n}}$

Числа $\ Tau ^ {i_1, i_2, \ ldots, i_m} _ {j_1, j_2, \ ldots, j_n}$ називаються компонентами тензора τ . Нижні індекси компонент тензора називаються коваріантними, а верхні - контраваріантнимі. Наприклад, розкладання деякого двічі коваріантного тензора h буде таким:

$h = \ sum_ {j, k} h_ {jk} \ mathbf {f} ^ j \ otimes \ mathbf {f} ^ k$

Якщо визначити тензор як полілінейную функцію, то його компоненти визначаються значеннями цієї функції на базисі $\ Tau ^ n_m (V) = \ left (\ bigotimes_ {i = 1} ^ n V ^ * \ right) \ otimes \ left (\ bigotimes_ {i = 1} ^ m V \ right)$ :

${\ Tau ^ {i_1, i_2, \ ldots, i_m} _ {j_1, j_2, \ ldots, j_n}} = \ tau (\ mathbf {f} ^ {i_1}, \ mathbf {f} ^ {i_2}, \ ldots, \ mathbf {f} ^ {i_m}, \ mathbf {e} _ {j_1}, \ mathbf {e} _ {j_2}, \ ldots, \ mathbf {e} _ {j_n}), \ quad 1 \ leqslant i_a, j_b \ leqslant d.$

2.1. Про класичному визначенні

Класичний підхід до визначення тензора, більш поширений у фізичній літературі, починає з представлення тензорів в компонентах. Тензор визначається як геометричний об'єкт, який описується багатовимірним масивом, тобто набором чисел, занумеровані кількома індексами, або, інакше кажучи, таблицею (взагалі кажучи, n -Мірної, де n - Валентність тензора (див. вище)).

Так вектор (тензор першого рангу) задається одновимірним масивом (рядком або краще - стовпцем), а такі об'єкти як лінійний оператор і квадратична форма - двовимірної матрицею. Скаляр ж (тензор нульового рангу) задається одним числом (яке можна розглядати як нульмерние масив з єдиним елементом). (Скаляр і вектори зручно розглядати як окремі випадки тензорів, тому що всі тензорні визначення та теореми для них в силі і вектори зі скалярами можна при загальному розгляді не згадувати окремо).

Вводятся тензорные операции, которые можно считать прямым обобщением матричных операций (умножение матриц между собой и с векторами), а также векторных операций, таких, как скалярное произведение. Эти операции, если исходить из современного (аксиоматического) определения, прямо вытекают из (поли-)линейности тензоров в этом определении, после разложения векторов, свёртываемых с тензорами, по базису векторного пространства, точно так же, как и матричные операции вытекают из линейности линейных операторов и билинейных форм, представлением каждого из которых в конкретном базисе является конкретная матрица.

С помощью этих операций тензоры связываются с такими фундаментальными геометрическими объектами, как векторы и скаляры, чем, в конечном счёте, определяется их геометрический смысл. Эти же операции связывают тензоры с матрицами преобразований координат (матрицами якоби). Если речь идёт о тензорном анализе на (римановом или псевдоримановом, с которыми обычно имеют дело в классическом подходе, по крайней мере, на первом этапе) многообразии общего вида, все эти операции определяются обычно общековариантным способом (то есть способом, не зависящим от выбора криволинейных координат) с помощью метрического тензора.

Основными тензорными операциями являются сложение, в этом подходе сводящееся к покомпонентному сложению, аналогично векторам, и свёртка - с векторами, между собой и сами с собой, обобщающая матричное умножение, скалярное произведение векторов и взятие следа матрицы. Умножение тензора на число (на скаляр) можно при желании считать частным случаем свёртки, оно сводится к покомпонентному умножению.

Значения чисел в массиве, или компоненты тензора, зависят от системы координат, но при этом сам тензор, как геометрическая сущность, от них не зависит. Под проявлениями этой геометрической сущности можно понимать много что: различные скалярные инварианты, симметричность/антисимметричность индексов, соотношения между тензорами и другое. Например, скалярное произведение и длина векторов не меняется при поворотах осей, а метрический тензор всегда остаётся симметричным. Свёртки любых тензоров с самими собой и/или другими тензорами (в том числе векторами), если в результате не осталось ни одного индекса, являются скалярами, то есть инвариантами относительно замены координат: это общий способ построения скалярных инвариантов.

При замене системы координат компоненты тензора преобразуются по определённому линейному закону.

Зная компоненты тензора в одной координатной системе, всегда можно вычислить его компоненты в другой, если задана матрица преобразования координат. Таким образом, второй подход можно суммировать в виде формулы:

тензор = массив компонент + закон преобразования компонент при замене базиса

Следует заметить, что при этом подразумевается, что все тензоры (все тензоры над одним векторным пространством), независимо от их ранга (то есть и векторы в том числе), преобразуются через одну и ту же матрицу преобразования координат (и дуальную ей, если есть верхние и нижние индексы). Компоненты тензора, таким образом, преобразуется по тому же закону, что и соответствующие компоненты тензорного произведения векторов (в количестве, равном валентности тензора), учитывая ковариантность-контравариантность компонент.

Например, компоненты тензора

$\tau^i_{jk}$

преобразуется так же, как компоненты тензорного произведения трёх векторов, то есть как произведение компонент этих векторов

$\ a^ib_jc_k$

Так как преобразование компонент вектора известно, то таким образом можно легко сформулировать простейший из вариантов классического определения тензора.

3. Приклади

Тензор ранга (0,0) - Це скаляр;
Один раз контравариантный тензор (ранга (0,1) ) - это просто элемент пространства V , Тобто вектор;
Тензор ранга (1,0) є ковектор (ковариантный вектор), то есть элемент пространства V ^* ;
Тензор ранга (2,0) є билинейная форма, например метричний тензор g _{i j} на касательном пространстве.
Тензор ранга (1,1) є лінійний оператор або
- В частности, единичный оператор, который может быть представлен единичной матрицей $\delta^i_j$ - тензор ранга (1,1) .
Форма объёма на n -мерном линейном пространстве есть пример антисимметрического тензора ранга ( n,0) (или n раз ковариантного)
Риманова кривизна в естественном виде $R^i_{\ jkl}$ - пример тензора ранга (3,1) , её свёртки - тензор Риччи R _{i j} і скалярная кривизна R = R _{i j} g ^{i j} - примеры тензоров соответственно ранга (2,0) і (0,0) - то есть последний - скаляр.

Как следует из определения, компоненты тензора должны меняться определённым образом синхронно с компонентами векторов того пространства, на котором он определён, при преобразовании координат. Поэтому не любая табличка или величина с индексами, выглядящая как представление тензора, на самом деле представляет тензор.

Простым, хотя в целом несколько искусственным, примером такой таблички, не представляющей тензор, может быть табличка, компоненты которой представляют набор произвольных чисел, никак не меняющихся при произвольных преобразованиях координат. Такой объект не представляет тензора, или, во всяком случае, не представляет тензора на линейном пространстве, в котором произошло преобразование координат. Так, набор из трёх чисел не представляет трёхмерного вектора, если эти числа не преобразуются при замене координат совершенно определённым образом.

Также в общем случае подмножество компонент тензора высшего ранга не является тензором низшего ранга.
Не представляет тензора также объект, все компоненты которого нули хотя бы в одной невырожденной системе координат (в полном базисе), тогда как в другой хотя бы одна компонента ненулевая. Этот факт - следствие (поли-)линейности тензоров.

Существуют объекты, которые не только похожи на тензоры, но для которых определены (и имеют разумный и корректный смысл) тензорные операции (свёртка с другими тензорами, в частности, с векторами), однако при этом тензорами не являющиеся :

Прежде всего к тензорам не относятся сами матрицы (матрицы Якоби) преобразования координат, являющегося частным случаем диффеоморфизма между двумя многообразиями, с помощью которых и вводится классическое определение тензора, хотя по многим своим свойствам они напоминают тензор. Для них также можно ввести верхние и нижние индексы, операции умножения, сложения и свёртки. Однако, в отличие от тензора, компоненты которого зависят лишь от координат на заданном многообразии, компоненты матрицы Якоби также зависят от координат на многообразии-образе. Это различие очевидно в том случае, когда рассматриваются матрицы Якоби диффеоморфизма двух произвольных многообразий, однако при отображении многообразия в себя его можно не заметить, так как касательные пространства образа и прообраза изоморфны (не канонически). Тем не менее, оно сохраняется. Аналогию между матрицами Якоби и тензорами можно развить, если рассматривать произвольные векторные расслоения над многообразием и их произведения, а не только касательное и кокасательное расслоение.

Символы Кристоффеля $\Gamma^i_{\ jk}$ также не представляют тензора, хотя бы потому, что они могут быть обращены в ноль выбором координат вблизи произвольной точки, так же, как выбором (криволинейных) координат могут быть сделаны ненулевыми. Однако свёртка компонент связности с вектором дает настоящий вектор, а их разность - настоящий тензор (тензор кручения). Символы Кристоффеля, как и любые коэффициенты связности на расслоении, являются элементами более сложного пространства, чем пространство тензоров - расслоения струй.

4. Тензорные операции

Тензоры допускают следующие алгебраические операции:

Умножение на скаляр - как и вектор или скаляр (частные случаи тензора);

Сложение тензоров одинаковой валентности и состава индексов (вычислять сумму можно покомпонентно, как и для векторов);
- Наличие умножения на скаляр и сложения тензоров делают пространство тензоров одного и того же типа линейным пространством.

Тензорное произведение - без ограничений. Произведением тензора ранга ( m, n) на тензор ранга ( m ', n ') является тензор суммарного ранга ( m + m ', n + n ') , то есть если $\sigma\in T^m_n$ і $\tau \in T^{m'}_{n'}$ то их произведение

$\sigma\otimes\tau\in T^{m+m'}_{n+n'}=T^{m}_n\otimes T^{m'}_{n'}.$

Компоненты тензорного произведения суть произведения соответствующих компонент множителей, например:

$P^{ij}_{\ \ kl}\ = A^{ij} B_{kl}$

Свёртка тензора - специфическая тензорная операция, понижающая валентность тензора, вычисляется суммированием по паре индексов (верхнего и нижнего, если они различаются) и пробегающих, оставаясь равными друг другу, все свои значения, например:
$B^i_{\ kl}\ = \sum_j A^{ji}_{\ \ jkl} = A^{ji}_{\ \ jkl}$
- (последнее в эйнштейновских обозначениях, где суммирование по повторяющемуся верхнему и нижнему индексу подразумевается автоматически). Часто, если не как правило, свёртка (то есть результат операции свёртки) обозначается той же буквой, что и тензор, к которому свёртка применена, только, конечно, с количеством индексов, на два меньшим.
- След матрицы - частный случай свёртки тензора с собой.

Свёртка двух или нескольких тензоров (в том числе тензоров и векторов), например:
$C^i_{jk}\ = \sum_m B^i_m A^m_{jk} = B^i_m A^m_{jk}$ (последнее - в записи Эйнштейна).
- операция, которую можно свести к последовательному тензорному умножению этих тензоров (см. чуть ниже) и затем свёртке получившегося тензора (возможно, несколько раз). Очевидно, эта операция линейна по всем входным каналам. Таким образом, свёртка с тензором реализует линейное или полилинейное отображение пространств тензоров на пространство тензоров (в общем случае - на другое), в частности, векторов на векторы и векторов на скаляры.
- Свёртка вектора с тензором валентности два есть действие линейного оператора, определяемого этим тензором, на вектор:
$u^i\ = \sum_j A^i_j v^j = A^i_j v^j$ (последнее - в записи Эйнштейна).
- Свёртка (однократная) двух тензоров валентности два реализует композицию линейных операторов, определяемых этими тензорами:
$C^i_j\ = \sum_k B^i_k A^k_j = B^i_k A^k_j$ (последнее - в записи Эйнштейна).

Симметризация и антисимметризация - конструирование тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора T _{i j} - это симметричный тензор $\scriptstyle T_{(ij)} = {1\over 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$ , а антисимметризация - антисимметричный тензор $\scriptstyle T_{[ij]} = {1\over 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)$ . В общем случае симметризация по n индексам имеет вид

$T_{(i_1\ldots i_n)} = {1\over n!}\sum_{\sigma} T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)},$

а антисимметризация:

$T_{[i_1\ldots i_n]} = {1\over n!}\sum_{\sigma} \mathrm{sign}\,(\sigma) T_{\sigma(i_1)\ldots \sigma(i_n)}$

Тут σ - всевозможные перестановки индексов $i_1,\ldots,i_n,$ а $\mathrm{sign}\,(\sigma)$ - чётность перестановки σ. Разумеется, не обязательно симметризовать тензор по всем индексам, здесь это используется лишь для упрощения записи.

Якщо $T_{i_1\ldots i_n}$ симметричен по $i_1\ldots i_n,$ то симметризация по этим индексам совпадает с T, а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности по некоторым индексам.
Якщо $T_{ij} \in V\otimes V,$ то $T_{(ij)} \in V \vee V,$ $T_{[ij]} \in V \wedge V.$ Тут $\ Vee$ - симметричное, а $\ Wedge$ - внешнее произведение векторных пространств.

5. Симметрии

В различного рода приложениях часто возникают тензоры с определённым свойством симметрии.

Симметричным по двум ко-(контра-)вариантным индексам называется тензор, который удовлетворяет следующему требованию:

$T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},\ldots,e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},\ldots,e_{i_m}) = T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},\ldots,e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},\ldots,e_{i_m});$

$T(e^{j_1},e^{j_2},\ldots,e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},\ldots,e_{i_m}) = T(e^{j_1},e^{j_2},\ldots,e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},\ldots,e_{i_m})$

или в компонентах

${T_{\underline{j_1,j_2},\ldots,j_n}}^{i_1,i_2,\ldots,i_m} = {T_{\underline{j_2,j_1},\ldots,j_n}}^{i_1,i_2,\ldots,i_m},\quad \forall j_1,j_2 = 1,2,\ldots,(\dim(V)=\dim(V^*));$

${T_{j_1,j_2,\ldots,j_n}}^{\underline{i_1,i_2},\ldots,i_m} = {T_{j_1,j_2,\ldots,j_n}}^{\underline{i_2,i_1},\ldots,i_m},\quad \forall i_1,i_2 = 1,2,\ldots,(\dim(V)=\dim(V^*)).$

Аналогично определяется косая симметрия (или антисимметричность):

$T(\underline{e^{j_1},e^{j_2}},\ldots,e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},\ldots,e_{i_m}) = -T(\underline{e^{j_2},e^{j_1}},\ldots,e^{j_n},e_{i_1},e_{i_2},\ldots,e_{i_m});$

$T(e^{j_1},e^{j_2},\ldots,e^{j_n},\underline{e_{i_1},e_{i_2}},\ldots,e_{i_m}) = -T(e^{j_1},e^{j_2},\ldots,e^{j_n},\underline{e_{i_2},e_{i_1}},\ldots,e_{i_m})$

или в компонентах

$T_{\underline{j_1,j_2},\ldots,j_n}^{i_1,i_2,\ldots,i_m} = -T_{\underline{j_2,j_1},\ldots,j_n}^{i_1,i_2,\ldots,i_m},\quad \forall j_1, j_2 = 1,2,\ldots,(\dim(V)=\dim(V^*));$

$T_{j_1,j_2,\ldots,j_n}^{\underline{i_1,i_2},\ldots,i_m} = -T_{j_1,j_2,\ldots,j_n}^{\underline{i_2,i_1},\ldots,i_m},\quad \forall i_1, i_2 = 1,2,\ldots,(\dim(V)=\dim(V^*)).$

Симетрія або антисимметрия не обов'язково повинна охоплювати тільки сусідні індекси, вона може включати в себе будь індекси, враховуючи, правда, таке: симетрія або антисимметрия може ставитися тільки до індексів одного сорту: ко-або контраваріантним. Симетрії ж, змішуючі ко-і контраваріантние індекси тензорів, як правило, не мають особливого сенсу, тому що, навіть якщо вони спостерігаються в компонентах, то руйнуються при переході до іншого базису віднесення (тобто неінваріантни).

Втім, у присутності метричного тензора, наявність операцій підняття або опускання індексу усуває цю незручність, і обмеження цим по суті знімається, коли тензор представлений відповідним чином (так, наприклад, тензор кривизни Рімана $R_ {mjkl} = g_ {im} R ^ i_ {jk \ ell}$ антісімметрічен за першими двома і останнім двом індексам).

Ці визначення природним чином узагальнюються на випадок більш ніж двох індексів. При цьому при будь перестановці індексів, по яких тензор є симетричним, його дія не змінюється, а при антисиметрії за індексами знак дії тензора змінюється на протилежний для непарних перестановок (отримуваних з початкового розташування індексів непарним числом транспозицій - перестановок двох індексів) і зберігається для парних .

Існують і більш складні симетрії, наприклад перший тотожність Бьянкі для тензора кривизни.

6. Тензори у фізиці

В фізиці тензори широко використовуються в теоріях, що володіють геометричній природою (таких, як Загальна теорія відносності) або допускають повну або значну геометризації (до таких можна значною мірою віднести практично всі сучасні фундаментальні теорії - електродинаміка, релятивістська механіка і т. д.), а також у теорії анізотропних середовищ (які можуть бути анізотропни спочатку, як кристали низької симетрії, або внаслідок свого руху або напруг, як поточна рідина або газ, або як деформований тверде тіло). Крім того, тензори широко використовуються в механіці абсолютно твердого тіла.

Лінійні оператори квантової механіки, звичайно, також можуть бути інтерпретовані як тензори над якимись абстрактними просторами (просторами станів), але традиційно таке застосування терміна тензор практично не використовується, як і взагалі вкрай рідко використовується для опису лінійних операторів над нескінченновимірних просторів. Взагалі у фізиці термін тензор має тенденцію застосовуватися тільки до тензора над звичайним фізичним 3-мірним простором або 4-мірним простором-часом, або, в крайньому випадку, над найбільш простими і прямими узагальненнями цих просторів, хоча принципова можливість застосування його в більш загальних випадках залишається.

Прикладами тензорів у фізиці є:

метричний тензор над псевдорімановим 4-мірним різноманіттям, що є в ОТО розвитком поняття ньютоновского гравітаційного потенціалу.
виражається через нього тензор ріманової кривизни і його згортки, пов'язані в цій же теорії з енергією гравітаційного поля і безпосередньо входять до основне рівняння теорії.
тензор електромагнітного поля над простором Мінковського, що містить напруженості електричного і магнітного поля і є головним об'єктом класичної електродинаміки в 4-мірної запису. Зокрема, рівняння Максвелла записуються з його допомогою у вигляді єдиного 4-мірного рівняння.
напруги і деформації в теорії пружності описуються тензорами над 3-мірним евклідовому простором. Те ж стосується таких величин, як модулі пружності.
чи не більшість величин, які є скалярними характеристиками речовини у разі ізотропності останнього, є тензорами в разі анізотропного речовини. Говорячи конкретніше, це відноситься до субстанціальним коефіцієнтам, що зв'язує векторні величини або стоять перед творами (зокрема, квадратами) векторів. Прикладами можуть бути питома електропровідність (також і зворотне їй питомий опір), теплопровідність, діелектрична сприйнятливість і діелектрична проникність, швидкість звуку (що залежить від напрямку) і т. д.
в механіці абсолютно твердого тіла найважливішу роль відіграє тензор інерції, що зв'язує кутову швидкість з моментом імпульсу і кінетичної енергією обертання. Цей тензор відрізняється від більшості інших тензорів у фізиці, що представляють собою, взагалі кажучи, тензорні поля, тим, що один тензор характеризує одне абсолютно тверде тіло, повністю визначаючи, разом з масою, його інерцію.
аналогічним властивістю володіють тензори, що входять до мультипольних розкладання: всього один тензор цілком представляє момент розподілу зарядів відповідного порядку в даний час.
часто у фізиці корисний псевдо тензор Леві-Чівіта, що входить, наприклад, в координатну запис векторного та мішаного творів векторів. Компоненти цього тензора завжди записуються практично однаково (з точністю до скалярного множника, залежного від метрики), а в правому ортонормированном базисі - абсолютно однаково завжди (кожна дорівнює 0, +1 або -1).
термін 4-тензор - застосовується для позначення будь-якого тензора над чотиривимірним простором-часом, повороти системи відліку в якому включають як звичайні повороти тривимірного простору, так і перехід між системами відліку, які рухаються з різними швидкостями одна щодо іншої. Це тензор над простором 4-векторів, тензор, кожен індекс якого приймає чотири значення: одне "тимчасове" і три "просторових".

Неважко помітити, що більшість тензорів у фізиці (не розглядаючи скалярів і векторів) мають всього два індекси. Тензори, що мають велику валентність (такі, як тензор Рімана в ЗТВ) зустрічаються, як правило, тільки в теоріях, що вважаються досить складними, та й то нерідко фігурують в основному у вигляді своїх згорток меншою валентності. Більшість симетрично або антисиметричною.

Найпростішою ілюстрацією, що дозволяє зрозуміти фізичний (і почасти геометричний) сенс тензорів, а точніше - симетричних тензорів другого рангу, буде, ймовірно, розгляд тензора (питомої) електропровідності σ . Інтуїтивно зрозуміло, що анізотропна середовище, наприклад, кристал, або навіть якийсь спеціально виготовлений штучний матеріал, не буде в загальному випадку проводити струм однаково легко у всіх напрямках (наприклад, через форми і орієнтації молекул, атомних шарів або якихось надмолекулярних структур - можна уявити собі, наприклад, тонкі зволікання добре проводить металу, однаково орієнтовані та вплавлений в погано провідне середовище). Візьмемо за основу для простоти і конкретності, останню модель (добре проводять зволікання в погано провідному середовищі). Електропровідність вздовж зволікань буде великою, назвемо її σ ₁ , А впоперек - маленькою, позначимо її σ ₂ . (Ясно, що в загальному випадку (наприклад, коли зволікання сплюснені в перерізі і ця сплюснутістю також орієнтована у всіх зволікань однаково, електропровідність σ ₃ буде відрізнятися від σ ₂ , У разі ж круглих рівномірно розподілених зволікань - σ ₂ = σ ₃ , Але не рівні σ ₁ ). Досить нетривіальний в загальному випадку, але досить очевидний в нашому прикладі, факт полягає в тому, що знайдуться три взаємно перпендикулярних напрями, для яких зв'язок вектора щільності струму $\ Mathbf {j}$ і напруженості викликає його електричного поля $\ Mathbf {E}$ будуть пов'язані просто числовим множником (у нашому прикладі - це напрямок вздовж зволікань, друге - уздовж їх сплюснутістю і третє перпендикулярне першим двом). Але будь-який вектор можна розкласти на компоненти по цим зручним напрямками:

$\ Mathbf {E} = E_1 \ mathbf {e} _1 + E_2 \ mathbf {e} _2 + E_3 \ mathbf {e} _3$

$\ Mathbf {j} = j_1 \ mathbf {e} _1 + j_2 \ mathbf {e} _2 + j_3 \ mathbf {e} _3$

тоді можна для кожної компоненти записати:

$\ J_i = \ sigma_i E_i$

І ми побачимо, що для будь-якого напрямку, не збігається з 1, 2 і 3, вектор $\ Mathbf {j}$ вже не буде збігатися за напрямком з $\ Mathbf {E}$ , Якщо тільки не рівні хоча б два з σ ₁ , σ ₂ і σ ₃ .

Переходячи до довільних декартовим координатами, не збігається з цими виділеними напрямами, ми змушені будемо включити матрицю повороту для перетворення координат, і тому в довільній системі координат співвідношення між $\ Mathbf {j}$ і $\ Mathbf {E}$ буде виглядати так:

$\ J_i = \ sum_k \ sigma_ {ik} E_k$

тобто тензор електропровідності буде представлений симетричною матрицею $3 \ times 3$ .

Враховуючи ж те, що питома потужність тепловиділення w в провіднику дорівнює скалярному добутку $\ Mathbf {j} \ cdot \ mathbf {E}$ , Неважко записати:

$\ W = \ sum_ {ik} E_i \ sigma_ {ik} E_k$

або

$\ W = \ sum_ {ik} j_i \ rho_ {ik} j_k,$

де ρ - Питомий опір - матриця, зворотна матриці σ . Так ми наочно бачимо ще одне типове використання симетричного тензора другого рангу у фізиці - як квадратичної форми, перетворюючої вектор в скаляр.

У цьому прикладі для простоти використовувалися тільки прямокутні равномасштабние декартові координати, тому відмінність верхніх і нижніх тензорних індексів відсутня.

Таким чином, ми отримали (правда, кажучи строго, тільки для випадку симетричного тензора) хороший наочний геометричний образ тензора, що застосовується у фізиці. Цей образ складається з ортогонального базису (званого власним базисом тензора або його власними координатами), орієнтованого в просторі певним чином (визначеним властивостями середовища, що породжує тензор), і трьох (для тривимірного простору) чисел (коефіцієнтів), пов'язаних кожне з однією з цих осей (званих власними числами або власними значеннями тензора), призначених для множення на них відповідних компонент вектора, щоб отримати компоненти вектора нового. Як бачимо, в окремому випадку σ ₁ = σ ₂ = σ ₃ множення на тензор σ зводиться до множення на число (на скаляр).

Або, множачи квадрати цих компонент (компонент у власному базисі тензора) вектора на власні числа, і склавши їх, отримуємо скаляр. Поверхні рівня такої квадратичної форми - еліпсоїди. Такий еліпсоїд служить також гарним геометричним чином тензора. Напрям його головних осей - дає власний базис тензора, а їх величини - визначають його власні числа.

В алгебрі ж все сказане ілюструє поняття власних векторів (власного базису) і власних чисел лінійного оператора, квадратичної форми або матриці, а процес знаходження власного базису і власних чисел (званий завданням на власні значення) називається діагоналізаціей оператора, квадратичної (або билинейной) форми або матриці (так як матриця, що представляє оператор або білінійну форму стає в цьому базисі діагональної).

Література

Аківіс М. А., Гольдберг В. В. Тензорне числення. - М .: Наука, 1969;
Дімітріенко Ю. І. Тензорне числення: Учеб. посібник. - М .: Вища школа, 2001. - 576 с. ISBN 5-06-004155-7.
Коренєв Г. В. Тензорне числення: Учеб. посібник. - М .: Видавництво МФТІ, 2000. - 240 с. - ISBN 5-89155-047-4.
Кочин Н. Е. Векторне числення та початку тензорного обчислення (9-е видання). - М .: Наука, 1965;
Мак-Коннел А. Дж. Введення в тензорний аналіз з додатками до геометрії, механіці і фізиці. - М .: Физматлит, 1963;
Номідзу К. Групи Лі та диференціальна геометрія. - М .: ІЛ, 1960;
Победря Б. Є. Лекції з тензорного аналізу: Учеб. посібник. (3-е изд.). - М .: Изд-во МГУ, 1986;
Рашевський П. К. Ріманова геометрія і тензорний аналіз (3-е видання). - М .: Наука, 1967;
Шаріпов Р. А. Швидке введення в тензорний аналіз. - БашГУ.