Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Тензорне твір



План:


Введення

Тензорне твір - операція над лінійними просторами, а також над елементами ( векторами, матрицями, операторами, тензорами і т.д.) перемножуєте просторів.

Тензорне твір лінійних просторів A і B є лінійний простір позначуване A \ otimes B , Для елементів a \ in A і b \ in B , Їх тензорне твір a \ otimes b лежить в просторі A \ otimes B .

Позначення тензорного твори відбулося за аналогією з позначенням для декартова твори множин.


1. Тензорне твір лінійних (векторних) просторів

1.1. Скінченновимірні простору

Нехай A і B - Скінченновимірні векторні простори над полем K , \ {E_i \} _ {i = 1 \ dots n} - базис в A , \ {F_k \} _ {k = 1 \ dots m} - Базис в B . Тензорним твором A \ otimes B просторів A і B будемо називати векторний простір, породжене елементами e_i \ otimes f_k , Званими тензорними творами базисних векторів. Тензорне твір a \ otimes b довільних векторів a \ in A, ~ b \ in B можна визначити, вважаючи операцію \ Otimesбилинейной :

(\ Lambda a_1 + \ mu a_2) \ otimes b = \ lambda \, a_1 \ otimes b + \ mu \, a_2 \ otimes b, ~ ~ \ lambda, \ mu \ in K
a \ otimes (\ lambda b_1 + \ mu b_2) = \ lambda \, a \ otimes b_1 + \ mu \, a \ otimes b_2, ~ ~ \ lambda, \ mu \ in K

При цьому тензорне твір довільних векторів a і b виражається як лінійна комбінація базисних векторів e_i \ otimes f_k . Елементи в A \ otimes B , Представимо у вигляді a \ otimes b , Називаються розкладними.

Хоча тензорне твір просторів визначається через вибір базисів, його геометричні властивості не залежать від цього вибору.


1.2. Функторіальность

Тензорне твір - це в певному сенсі найбільш загальний простір, в яке можна білінійної відобразити вихідні простору. А саме, для будь-якого іншого простору C і білінійної відображення \ Otimes ^ \ prime: A \ times B \ to C існує єдиний гомоморфізм f: A \ otimes B \ to C такий, що

\ Otimes ^ \ prime = f \ circ \ otimes

Зокрема, звідси випливає, що тензорне твір не залежить від вибору базисів в A і B , Так як всі виходять при цьому простору A \ otimes B виявляються канонічно ізоморфні.

Таким чином, довільне білінійної відображення L ^ 2 \ ni \ varphi: A \ times B \ to C може бути визначене як лінійне відображення L \ ni \ varphi: A \ otimes B \ to C , Причому досить задати його лише на творах базисних векторів.

Простору \ L ^ 2 (A \ times B, C) і L (A \ otimes B, C) є канонічно ізоморфними.


2. Окремі випадки

2.1. Тензорне добуток двох векторів

(Матричне) множення вектора-стовпця праворуч на вектор-рядок дає їх тензорне твір:

\ Mathbf {a} \ otimes \ mathbf {b} \ rightarrow \ begin {bmatrix} a_1 \ \ a_2 \ \ a_3 \ \ a_4 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 \ \ a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 \ \ a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 \ \ a_4b_1 & a_4b_2 & a_4b_3 \ end {bmatrix}

або, якщо користуватися верхніми і нижніми індексами (по повторюваним індексам мається на увазі підсумовування):

\ Mathbf {a} \ otimes \ mathbf {b} \ rightarrow a_ib ^ j

Якщо ж не прив'язуватися до матричної формі запису і матричним операціями, то, як і для тензорів вищого рангу, пряме твір буде представляти тензор більш високого рангу (для твору векторів - другого, тобто з двома значками) з компонентами, рівними творам компонент множників з відповідними індексами:

P_i ^ {\ j} = a_ib ^ j
P_ {ij} \ = a_ib_j
P ^ {ij} \ = a ^ ib ^ j

Твір двох векторів називається також діадного, а результат (тензор другого рангу) - діадою.

Тензорним твором простору векторів-стовпців на простір векторів-рядків є простір матриць.


2.2. Тензорне твір операторів

Нехай A: U_1 \ to U_2 , B: W_1 \ to W_2 - Лінійні оператори. Тензорне твір операторів A \ otimes B: U_1 \ otimes W_1 \ to U_2 \ otimes W_2 визначається за правилом

(A \ otimes B) (u \ otimes w) = (A u) \ otimes (B w), ~ ~ u \ in U_1, \, w \ in W_1

Якщо матриці операторів при деякому виборі базисів мають вигляд

\ Mathrm {A} = \ begin {bmatrix} a_ {11} & \ cdots & a_ {1n} \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {m1} & \ cdots & a_ {mn} \ end { bmatrix}
\ Mathrm {B} = \ begin {bmatrix} b_ {11} & \ cdots & b_ {1q} \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ b_ {p1} & \ cdots & b_ {pq} \ end { bmatrix}

то матриця їх тензорного твори запишеться в базисі, утвореному тензорним твором базисів, у вигляді блокової матриці

\ Mathrm {A} \ otimes \ mathrm {B} = \ begin {bmatrix} a_ {11} B & \ cdots & a_ {1n} B \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {m1} B & \ cdots & a_ {mn} B \ end {bmatrix} =
= \ Begin {bmatrix} a_ {11} b_ {11} & a_ {11} b_ {12} & \ cdots & a_ {11} b_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {11} & a_ {1n} b_ {12} & \ cdots & a_ {1n} b_ {1q} \ \ a_ {11} b_ {21} & a_ {11} b_ {22} & \ cdots & a_ {11} b_ { 2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {21} & a_ {1n} b_ {22} & \ cdots & a_ {1n} b_ {2q} \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & & & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {11} b_ {p1} & a_ {11} b_ {p2} & \ cdots & a_ {11} b_ {pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {p1} & a_ {1n} b_ {p2} & \ cdots & a_ {1n} b_ {pq} \ \ \ vdots & \ vdots & & \ vdots & \ ddots & & \ vdots & \ vdots & & \ vdots \ \ \ vdots & \ vdots & & \ vdots & & \ ddots & \ vdots & \ vdots & & \ vdots \ \ a_ {m1} b_ {11} & a_ {m1} b_ {12 } & \ cdots & a_ {m1} b_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {11} & a_ {mn} b_ {12} & \ cdots & a_ {mn} b_ {1q} \ \ a_ {m1} b_ {21} & a_ {m1} b_ {22} & \ cdots & a_ {m1} b_ {2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {21} & a_ {mn} b_ {22} & \ cdots & a_ {mn} b_ {2q} \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & & & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {m1} b_ {p1} & a_ {m1} b_ {p2} & \ cdots & a_ {m1} b_ {pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {p1} & a_ {mn} b_ {p2} & \ cdots & a_ {mn} b_ {pq} \ end {bmatrix}

Відповідна операція над матрицями називається кронекеровскім твором, на ім'я Леопольда Кронекера.


3. Властивості

  • \ Dim A \ otimes B = \ dim A \ cdot \ dim B

Наступні алгебраїчні властивості засновані на канонічному ізоморфізмі:

  • Асоціативність
(A \ otimes B) \ otimes C \ simeq A \ otimes (B \ otimes C)
  • Комутативність
A \ otimes B \ simeq B \ otimes A
  • Лінійність
A \ otimes (B \ oplus C) \ simeq (A \ otimes B) \ oplus (A \ otimes C)
\ Oplus - зовнішня сума лінійних просторів.

4. Тензорне твір модулів

Нехай A_1, A_2, \ dots, A_n - модулі над деякими комутативних кільцем R . Тензорним твором модулів називається модуль B над R , Даний разом з полілінейним відображенням f \ colon A_1 \ times \ dots \ times A_n \ to B і що володіє властивістю універсальності, тобто такий, що для всякого модуля C над R і будь-якого полілінейного відображення g \ colon A_1 \ times \ dots \ times A_n \ to C існує єдиний гомоморфізм модулів h \ colon B \ to C такий, що діаграма

Tensor product1.gif

коммутативна. Тензорне твір позначається A_1 \ otimes \ ldots \ otimes A_n . З універсальності тензорного твори випливає, що воно визначене однозначно з точністю до ізоморфізму.

Для доказу існування тензорного твори будь-яких модулів над кільцем комутативних побудуємо вільний модуль M , Що утворюють якого будуть n-ки елементів модулів (X_1, \ dots, x_n) де x_i \ in A_i . Нехай N - Подмодуль M , Породжуваний наступними елементами:

  1. (X_1, \ dots, x_i + y_i, \ dots, x_n) - (x_1, \ dots, x_i, \ dots, x_n) - (x_1, \ dots, y_i, \ dots, x_n)
  2. (X_1, \ dots, \ lambda x_i, \ dots, x_n) - \ lambda (x_1, \ dots, x_i, \ dots, x_n)

Тензорне твір визначається як фактор-модуль B = M / N , Клас (X_1, \ dots, x_n) + N позначається x_1 \ otimes \ dots \ otimes x_n , І називається тензорним твором елементів x i , A f визначається як відповідне індуковане відображення.

З 1) і 2) слід що відображення f \ colon A_1 \ times \ dots \ times A_n \ to B полілінейно. Доведемо, що для для будь-якого модуля C і будь-якого полілінейного відображення g \ colon A_1 \ times \ dots \ times A_n \ to C існує єдиний гомоморфізм модулів h , Такий, що g = h \ circ f .

Справді, так як M вільний, то існує єдине відображення h * , Що робить діаграму

Tensor product2.gif

комутативної, а в силу того, що g полілінейно, то на N h * (N) = 0 , Звідси, переходячи до индуцированному відображенню, отримуємо, що h \ colon M / N \ to C , Буде тим самим єдиним гомоморфізмом, існування якого і потрібно було довести.

Елементи A_1 \ otimes \ dots \ otimes A_n , Представимо у вигляді x_1 \ otimes \ dots \ otimes x_n , Називаються розкладними.

Якщо f_i \ colon A_i \ to B_i - Ізоморфізми модулів, то індукований гомоморфізм, відповідний білінійної відображенню

f_1 \ otimes \ dots \ otimes f_n \ colon A_1 \ otimes \ dots \ otimes A_n \ to B_1 \ otimes \ dots \ otimes B_n

існуючий по властивості універсальності, називається тензорним твором гомоморфізмом f i .

Особливо простий випадок виходить у випадку вільних модулів. Нехай e_ {i 1}, \ dots, e_ {i n} - Базис модуля A i . Побудуємо вільний модуль F над нашим кільцем, що має в якості базису елементи, відповідні n-кам (E_ {1 m}, e_ {2 p}, \ dots, e_ {n s}) , Визначивши відображення f (e_ {1 m}, e_ {2 p}, \ dots, e_ {ns}) \ to (e_ {1 m}, e_ {2 p}, \ dots, e_ {ns}) і поширивши його на A_1 \ times \ dots \ times A_n по лінійності. Тоді F є тензорним твором, де (E_ {1 m}, e_ {2 p}, \ dots, e_ {n s}) є тензорним твором елементів e_ {1m} \ otimes e_ {2p} \ otimes \ dots \ otimes e_ {ns} . Якщо число модулів і всі їх базиси кінцеві, то

rank (A_1 \ otimes \ dots \ otimes A_n) = rank A_1 \ cdot \ dots \ cdot rank A_n .

Література

  • Винберг Е. Б. Курс алгебри - 3-е изд .. - Москва: Факторіал Пресс, 2002. - 544 с. - 3000 екз . - ISBN 5-88688-060-7.
  • Ленг С. Алгебра - Москва: Мир, 1967.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Тензорне числення
Твір
Твір мистецтва
Псевдоскалярний твір
Концерт (твір)
Похідний твір
Твір Кронекера
Нескінченне твір
Твір (синтаксис)
© Усі права захищені
написати до нас