Тензорне твір

План:

1 Тензорне твір лінійних (векторних) просторів
- 1.1 Скінченновимірні простору
- 1.2 Функторіальность
2 Окремі випадки
- 2.1 Тензорне добуток двох векторів
- 2.2 Тензорне твір операторів
3 Властивості
4 Тензорне твір модулів

Введення

Тензорне твір - операція над лінійними просторами, а також над елементами ( векторами, матрицями, операторами, тензорами і т.д.) перемножуєте просторів.

Тензорне твір лінійних просторів A і B є лінійний простір позначуване $A \ otimes B$ , Для елементів $a \ in A$ і $b \ in B$ , Їх тензорне твір $a \ otimes b$ лежить в просторі $A \ otimes B$ .

Позначення тензорного твори відбулося за аналогією з позначенням для декартова твори множин.

1. Тензорне твір лінійних (векторних) просторів

1.1. Скінченновимірні простору

Нехай A і B - Скінченновимірні векторні простори над полем K , $\ {E_i \} _ {i = 1 \ dots n}$ - базис в A , $\ {F_k \} _ {k = 1 \ dots m}$ - Базис в B . Тензорним твором $A \ otimes B$ просторів A і B будемо називати векторний простір, породжене елементами $e_i \ otimes f_k$ , Званими тензорними творами базисних векторів. Тензорне твір $a \ otimes b$ довільних векторів $a \ in A, ~ b \ in B$ можна визначити, вважаючи операцію $\ Otimes$ билинейной :

$(\ Lambda a_1 + \ mu a_2) \ otimes b = \ lambda \, a_1 \ otimes b + \ mu \, a_2 \ otimes b, ~ ~ \ lambda, \ mu \ in K$

$a \ otimes (\ lambda b_1 + \ mu b_2) = \ lambda \, a \ otimes b_1 + \ mu \, a \ otimes b_2, ~ ~ \ lambda, \ mu \ in K$

При цьому тензорне твір довільних векторів a і b виражається як лінійна комбінація базисних векторів $e_i \ otimes f_k$ . Елементи в $A \ otimes B$ , Представимо у вигляді $a \ otimes b$ , Називаються розкладними.

Хоча тензорне твір просторів визначається через вибір базисів, його геометричні властивості не залежать від цього вибору.

1.2. Функторіальность

Тензорне твір - це в певному сенсі найбільш загальний простір, в яке можна білінійної відобразити вихідні простору. А саме, для будь-якого іншого простору C і білінійної відображення $\ Otimes ^ \ prime: A \ times B \ to C$ існує єдиний гомоморфізм $f: A \ otimes B \ to C$ такий, що

$\ Otimes ^ \ prime = f \ circ \ otimes$

Зокрема, звідси випливає, що тензорне твір не залежить від вибору базисів в A і B , Так як всі виходять при цьому простору $A \ otimes B$ виявляються канонічно ізоморфні.

Таким чином, довільне білінійної відображення $L ^ 2 \ ni \ varphi: A \ times B \ to C$ може бути визначене як лінійне відображення $L \ ni \ varphi: A \ otimes B \ to C$ , Причому досить задати його лише на творах базисних векторів.

Простору $\ L ^ 2 (A \ times B, C)$ і $L (A \ otimes B, C)$ є канонічно ізоморфними.

2. Окремі випадки

2.1. Тензорне добуток двох векторів

(Матричне) множення вектора-стовпця праворуч на вектор-рядок дає їх тензорне твір:

$\ Mathbf {a} \ otimes \ mathbf {b} \ rightarrow \ begin {bmatrix} a_1 \ \ a_2 \ \ a_3 \ \ a_4 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 \ \ a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 \ \ a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 \ \ a_4b_1 & a_4b_2 & a_4b_3 \ end {bmatrix}$

або, якщо користуватися верхніми і нижніми індексами (по повторюваним індексам мається на увазі підсумовування):

$\ Mathbf {a} \ otimes \ mathbf {b} \ rightarrow a_ib ^ j$

Якщо ж не прив'язуватися до матричної формі запису і матричним операціями, то, як і для тензорів вищого рангу, пряме твір буде представляти тензор більш високого рангу (для твору векторів - другого, тобто з двома значками) з компонентами, рівними творам компонент множників з відповідними індексами:

$P_i ^ {\ j} = a_ib ^ j$

$P_ {ij} \ = a_ib_j$

$P ^ {ij} \ = a ^ ib ^ j$

Твір двох векторів називається також діадного, а результат (тензор другого рангу) - діадою.

Тензорним твором простору векторів-стовпців на простір векторів-рядків є простір матриць.

2.2. Тензорне твір операторів

Нехай $A: U_1 \ to U_2$ , $B: W_1 \ to W_2$ - Лінійні оператори. Тензорне твір операторів $A \ otimes B: U_1 \ otimes W_1 \ to U_2 \ otimes W_2$ визначається за правилом

$(A \ otimes B) (u \ otimes w) = (A u) \ otimes (B w), ~ ~ u \ in U_1, \, w \ in W_1$

Якщо матриці операторів при деякому виборі базисів мають вигляд

$\ Mathrm {A} = \ begin {bmatrix} a_ {11} & \ cdots & a_ {1n} \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {m1} & \ cdots & a_ {mn} \ end { bmatrix}$

$\ Mathrm {B} = \ begin {bmatrix} b_ {11} & \ cdots & b_ {1q} \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ b_ {p1} & \ cdots & b_ {pq} \ end { bmatrix}$

то матриця їх тензорного твори запишеться в базисі, утвореному тензорним твором базисів, у вигляді блокової матриці

$\ Mathrm {A} \ otimes \ mathrm {B} = \ begin {bmatrix} a_ {11} B & \ cdots & a_ {1n} B \ \ \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {m1} B & \ cdots & a_ {mn} B \ end {bmatrix} =$

$= \ Begin {bmatrix} a_ {11} b_ {11} & a_ {11} b_ {12} & \ cdots & a_ {11} b_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {11} & a_ {1n} b_ {12} & \ cdots & a_ {1n} b_ {1q} \ \ a_ {11} b_ {21} & a_ {11} b_ {22} & \ cdots & a_ {11} b_ { 2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {21} & a_ {1n} b_ {22} & \ cdots & a_ {1n} b_ {2q} \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & & & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {11} b_ {p1} & a_ {11} b_ {p2} & \ cdots & a_ {11} b_ {pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {1n} b_ {p1} & a_ {1n} b_ {p2} & \ cdots & a_ {1n} b_ {pq} \ \ \ vdots & \ vdots & & \ vdots & \ ddots & & \ vdots & \ vdots & & \ vdots \ \ \ vdots & \ vdots & & \ vdots & & \ ddots & \ vdots & \ vdots & & \ vdots \ \ a_ {m1} b_ {11} & a_ {m1} b_ {12 } & \ cdots & a_ {m1} b_ {1q} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {11} & a_ {mn} b_ {12} & \ cdots & a_ {mn} b_ {1q} \ \ a_ {m1} b_ {21} & a_ {m1} b_ {22} & \ cdots & a_ {m1} b_ {2q} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {21} & a_ {mn} b_ {22} & \ cdots & a_ {mn} b_ {2q} \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & & & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a_ {m1} b_ {p1} & a_ {m1} b_ {p2} & \ cdots & a_ {m1} b_ {pq} & \ cdots & \ cdots & a_ {mn} b_ {p1} & a_ {mn} b_ {p2} & \ cdots & a_ {mn} b_ {pq} \ end {bmatrix}$

Відповідна операція над матрицями називається кронекеровскім твором, на ім'я Леопольда Кронекера.

3. Властивості

$\ Dim A \ otimes B = \ dim A \ cdot \ dim B$

Наступні алгебраїчні властивості засновані на канонічному ізоморфізмі:

Асоціативність

$(A \ otimes B) \ otimes C \ simeq A \ otimes (B \ otimes C)$

Комутативність

$A \ otimes B \ simeq B \ otimes A$

Лінійність

$A \ otimes (B \ oplus C) \ simeq (A \ otimes B) \ oplus (A \ otimes C)$

$\ Oplus$ - зовнішня сума лінійних просторів.

4. Тензорне твір модулів

Нехай $A_1, A_2, \ dots, A_n$ - модулі над деякими комутативних кільцем R . Тензорним твором модулів називається модуль B над R , Даний разом з полілінейним відображенням $f \ colon A_1 \ times \ dots \ times A_n \ to B$ і що володіє властивістю універсальності, тобто такий, що для всякого модуля C над R і будь-якого полілінейного відображення $g \ colon A_1 \ times \ dots \ times A_n \ to C$ існує єдиний гомоморфізм модулів $h \ colon B \ to C$ такий, що діаграма

коммутативна. Тензорне твір позначається $A_1 \ otimes \ ldots \ otimes A_n$ . З універсальності тензорного твори випливає, що воно визначене однозначно з точністю до ізоморфізму.

Для доказу існування тензорного твори будь-яких модулів над кільцем комутативних побудуємо вільний модуль M , Що утворюють якого будуть n-ки елементів модулів $(X_1, \ dots, x_n)$ де $x_i \ in A_i$ . Нехай N - Подмодуль M , Породжуваний наступними елементами:

$(X_1, \ dots, x_i + y_i, \ dots, x_n) - (x_1, \ dots, x_i, \ dots, x_n) - (x_1, \ dots, y_i, \ dots, x_n)$
$(X_1, \ dots, \ lambda x_i, \ dots, x_n) - \ lambda (x_1, \ dots, x_i, \ dots, x_n)$

Тензорне твір визначається як фактор-модуль B = M / N , Клас $(X_1, \ dots, x_n) + N$ позначається $x_1 \ otimes \ dots \ otimes x_n$ , І називається тензорним твором елементів x _i , A f визначається як відповідне індуковане відображення.

З 1) і 2) слід що відображення $f \ colon A_1 \ times \ dots \ times A_n \ to B$ полілінейно. Доведемо, що для для будь-якого модуля C і будь-якого полілінейного відображення $g \ colon A_1 \ times \ dots \ times A_n \ to C$ існує єдиний гомоморфізм модулів h , Такий, що $g = h \ circ f$ .

Справді, так як M вільний, то існує єдине відображення h ^* , Що робить діаграму

комутативної, а в силу того, що g полілінейно, то на N h ^* (N) = 0 , Звідси, переходячи до индуцированному відображенню, отримуємо, що $h \ colon M / N \ to C$ , Буде тим самим єдиним гомоморфізмом, існування якого і потрібно було довести.

Елементи $A_1 \ otimes \ dots \ otimes A_n$ , Представимо у вигляді $x_1 \ otimes \ dots \ otimes x_n$ , Називаються розкладними.

Якщо $f_i \ colon A_i \ to B_i$ - Ізоморфізми модулів, то індукований гомоморфізм, відповідний білінійної відображенню

$f_1 \ otimes \ dots \ otimes f_n \ colon A_1 \ otimes \ dots \ otimes A_n \ to B_1 \ otimes \ dots \ otimes B_n$

існуючий по властивості універсальності, називається тензорним твором гомоморфізмом f _i .

Особливо простий випадок виходить у випадку вільних модулів. Нехай $e_ {i 1}, \ dots, e_ {i n}$ - Базис модуля A _i . Побудуємо вільний модуль F над нашим кільцем, що має в якості базису елементи, відповідні n-кам $(E_ {1 m}, e_ {2 p}, \ dots, e_ {n s})$ , Визначивши відображення $f (e_ {1 m}, e_ {2 p}, \ dots, e_ {ns}) \ to (e_ {1 m}, e_ {2 p}, \ dots, e_ {ns})$ і поширивши його на $A_1 \ times \ dots \ times A_n$ по лінійності. Тоді F є тензорним твором, де $(E_ {1 m}, e_ {2 p}, \ dots, e_ {n s})$ є тензорним твором елементів $e_ {1m} \ otimes e_ {2p} \ otimes \ dots \ otimes e_ {ns}$ . Якщо число модулів і всі їх базиси кінцеві, то

$rank (A_1 \ otimes \ dots \ otimes A_n) = rank A_1 \ cdot \ dots \ cdot rank A_n$ .

Література

Винберг Е. Б. Курс алгебри - 3-е изд .. - Москва: Факторіал Пресс, 2002. - 544 с. - 3000 екз . - ISBN 5-88688-060-7.
Ленг С. Алгебра - Москва: Мир, 1967.