Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Тензор Вейля



Тензор кривизни Вейля це частина тензора кривизни Рімана з нульовим слідом. Іншими словами, це тензор, що задовольняє всім властивостям симетрії тензора Рімана з додатковою умовою що побудований по ньому тензор Річчі дорівнює нулю.

Названий на честь Германа Вейля.


Визначення

Тензор Вейля можна отримати з тензора кривизни, якщо відняти з нього певні комбінації тензора Річчі і скалярною кривизни. Формула для тензора Вейля найлегше записується через тензор Рімана у формі тензора валентності (0,4):

W = R - \ frac {1} {n-2} \ left (Ric - \ frac {s} {n} g \ right) \ circ g - \ frac {s} {2n (n-1)} g \ circ g

де n - розмірність різноманіття, g - метрика, R - тензор Рімана, Ric - тензор Річчі, s - скалярна кривизна, а h O k - так зване твір Кулкарні - Номідзу двох симетричних тензорів валентності (0,2):

(H \ circ k) (v_1, v_2, v_3, v_4) =h (v_1, v_3) k (v_2, v_4) + h (v_2, v_4) k (v_1, v_3) \,
{}-H (v_1, v_4) k (v_2, v_3)-h (v_2, v_3) k (v_1, v_4) \,

У компонентах, тензор Вейля задається виразом:

W_ {abcd} = R_ {abcd} - \ frac {2} {n-2} (g_ {a [c} R_ {d] b}-g_ {b [c} R_ {d] a}) + \ frac {2} {(n-1) (n-2)} R ~ g_ {a [c} g_ {d] b}

де R_ {abcd} - Тензор Рімана, R_ {ab} - Тензор Річчі, R - Скалярна кривизна і [] позначає операцію антісімметрірованія.


Властивості

  • Тензор Вейля може мати нетривіальну форму тільки в просторах з розмірністю не менше четирех.В двовимірному та тривимірному просторах тензори Вейля тотожно дорівнюють нулю.
  • Тензор Вейля залишається інваріантним при конформних перетвореннях метрики. Тобто, якщо для даної метрики g ввести нову метрику \ Tilde {g} _ {ij} = \ Omega g_ {ij} за допомогою деякої функції \ Omega , То (1,3)-валентний тензор Вейля не змінюється: \ Tilde {W} _ {abc} {} ^ d = {W_ {abc}} ^ d . З цієї причини тензор Вейля ще називають конформним тензором. З цієї властивості випливає, що
    • для того, щоб різноманіття було конформно евклідовому, необхідно щоб його тензор Вейля дорівнював нулю.
    • Для розмірностей ≥ 4 це умова виявляється також і достатнім.
    • Для просторів розмірності 3 необхідною і достатньою умовою конформної евклідова є рівність нулю тензора Коттона (англ.).

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Суми Вейля
Рівняння Вейля
Тензор
4-тензор
Тензор деформації
Симетричний тензор
Тензор Річчі
Тензор кривизни
Метричний тензор
© Усі права захищені
написати до нас