Тензор Річчі, названий на честь Річчі-Курбастро, задає один із способів вимірювання кривизни різноманіття, тобто ступеня відзнаки геометрії різноманіття від геометрії плоского евклідового простору. Тензор Річчі, точно так само як метричний тензор, є симетрична білінійна форма на дотичному просторі ріманова різноманіття. Грубо кажучи, тензор Річчі вимірює деформацію обсягу, тобто ступінь відмінності n-мірних областей n-мірного різноманіття від аналогічних областей евклідового простору. См. геометричний зміст тензора Річчі.


1. Формальне визначення

Нехай (M, g) - N-мірний ріманова різноманіття, а T_pM - дотичний простір до M в точці p. Для будь-якої пари \ Xi, \ eta \ in T_pM дотичних векторів в точці p, тензор Річчі \ Mathrm {Ric} (\ xi, \ eta) , За визначенням, відображає (\ Xi, \ eta) в слід лінійного автоморфізмів T_pM \ to T_pM , Заданого тензором кривизни Рімана R:

\ Zeta \ mapsto R (\ zeta, \ eta) \ xi

Якщо на різноманітті задані локальні координати, то тензор Річчі можна розкласти по компонентах:

\ Operatorname {Ric} = R_ {ij} \, dx ^ i \ otimes dx ^ j

де R_ {ij} = {R ^ k} _ {ikj}. - Слід тензора Рімана в координатному представленні.


2. Геометричний зміст

В околиці будь-якої точки p ріманова різноманіття (M, g) можна завжди визначити спеціальні локальні координати, так звані нормальні геодезичні координати, в яких геодезичні з точки p збігаються з прямими, що проходять через початок координат. Крім того, в самій точці p метричний тензор дорівнює метриці евклідового простору \ Delta_ {ij} (Або метриці Маньківського \ Eta_ {ij} в разі псевдоріманова різноманіття).

У цих спеціальних координатах форма обсягу розкладається в ряд Тейлора навколо p:

d \ mu_g = \ Big [1 - \ frac {1} {6} R_ {jk} x ^ jx ^ k + O (| x | ^ 3) \ Big] d \ mu_ {{\ rm Euclidean}}

Таким чином, якщо кривизна Річчі \ Textrm {Ric} (\ xi, \ xi) позитивна в напрямку вектора \ Xi , То вузький конус геодезичних, витікаючих з точки p у напрямку \ Xi , Буде мати менший обсяг, ніж такий же конус в евклідовому просторі. Аналогічно, якщо кривизна Річчі негативна, то вузький конус геодезичних у напрямку вектора \ Xi буде мати обсяг, більший у порівнянні з евклідовому.


3. Кривизна Річчі і геометрія в цілому

Нехай M є повне n -Мірне ріманова різноманіття з \ Operatorname {Ric} _M \ ge (n-1) \ kappa

  • Нерівність Бішопа - Громова. Нехай p \ in M , Позначимо через v_p (r) є обсяг кулі радіуса r з центром в p . позначимо через \ Tilde v (r) об'єм кулі радіуса r в n -Мірному просторі постійної кривизни \ Kappa . Тоді відношення
    \ Frac {v_p (r)} {\ tilde v (r)}
є невозрастающая функція від r .

4. Додатки тензора Річчі

  • Кривизна Річчі також з'являється в рівнянні потоку Річчі, в якому залежна від часу метрика деформується пропорційно кривизні Річчі зі знаком мінус.