Тензор деформації

Тензор деформації - тензор, який характеризує стиснення (розтягнення) і зміна форми в кожній точці тіла при деформації.

Тензор деформації Коші-Гріна в класичній суцільному середовищі (частинки якої є матеріальними точками і володіють лише трьома трансляційними ступенями свободи) визначається як

\ Varepsilon_ {ij} = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ partial u_i} {\ partial x_j} + \ frac {\ partial u_j} {\ partial x_i} + \ sum \ limits_l \ frac { \ partial u_l} {\ partial x_i} \ frac {\ partial u_l} {\ partial x_j} \ right) ,

де \ Mathbf {u} - Вектор, що описує зсув точки тіла: його координати - різниця між координатами близьких точок після ( dx ^ \ prime_i ) І до ( dx_i ) Деформації. Диференціювання виробляється за координатами в отсчетной конфігурації (до деформування). Відстані до і після деформації пов'язані через \ Varepsilon_ {ij} :

dl ^ {\ prime 2} = dl ^ {2} +2 \ varepsilon_ {ij} \, dx_i \, dx_j

(По повторюваним індексам ведеться підсумовування).

За визначенням тензор деформації симетричний, тобто \ Varepsilon_ {ij} = \ varepsilon_ {ji} .

У деяких джерелах цей тензор деформації називають тензором деформації Гріна-Лагранжа, а праву міру деформації Коші-Гріна (подвоєний обговорюваний тензор деформації плюс одиничний тензор) - правим тензором деформації Коші-Гріна.

Нелінійний тензор деформації Коші-Гріна має властивість матеріальної об'єктивності. Це означає, що якщо шматок деформівного тіла вчиняє жорстке рух, тензор деформації повертається разом з елементарним об'ємом матеріалу. Зручно використовувати такі тензори при записі визначають рівнянь матеріалу, тоді принцип матеріальної об'єктивності виконується автоматично, тобто якщо спостерігач рухається щодо деформируемой середовища, поведінку матеріалу не змінюється (тензор напружень повертається в системі відліку спостерігача разом з елементарним об'ємом матеріалу).

Існують також інші об'єктивні тензори деформації, наприклад, тензор деформації Альманса, тензори деформації Піола, Фінгера і т. д. У деякі з них входять похідні від переміщень по координатах в отсчетной конфігурації (до деформування), а в деякі - за координатами в актуальній конфігурації (після деформування).

Те, що в класичній суцільному середовищі енергія деформації залежить лише від симетричного тензора деформації, випливає з закону балансу моментів. Будь взаємно-однозначна функція об'єктивного тензора деформації буде також об'єктивним тензором деформації. Наприклад (в силу симетричності і позитивної визначеності тензора деформації) можна використовувати квадратний корінь з тензора деформації Коші-Гріна. Однак, задаючи визначальні рівняння за допомогою цих тензорів, важливо стежити за припущеннями про характер залежності вільної енергії (або напружень) від тензорів деформації. Ясно, що припущення про, скажімо, дифференцируемости вільної енергії по тензора деформацій Коші-Гріна, по кореню з нього або за його квадрату приведуть до рівнянь абсолютно різних матеріалів. Лінійна по \ Mathbf {u} теорія загального вигляду при малих \ Mathbf {u} вийде лише в першому випадку.

При малих \ Mathbf {u} можна знехтувати квадратичних доданками, і користуватися тензором деформації у вигляді:

\ Varepsilon_ {ij} = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {\ partial u_i} {\ partial x_j} + \ frac {\ partial u_j} {\ partial x_i} \ right)

Лінійний тензор деформації Коші-Гріна (збігається з лінійним тензором деформації Альманса з точністю до знака) не має властивість матеріальної об'єктивності при великих поворотах, тому його не використовують у визначальних рівняннях для великих деформацій. У наближенні малих поворотів ця властивість зберігається.

Діагональні елементи \ Varepsilon_ {ij} описують лінійні деформації розтягування або стиснення, недіагональні - деформацію зрушення.


1. У сферичній системі координат

\ Varepsilon_ {rr} = \ frac {\ partial u_r} {\ partial r}
\ Varepsilon_ {\ theta \ theta} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial u_ \ theta} {\ partial \ theta} + \ frac {u_r} {r}
\ Varepsilon_ {\ varphi \ varphi} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial u_ \ varphi} {\ partial \ varphi} + \ frac {u_ \ theta} {r} \ text { ctg} \ theta + \ frac {u_r} {r}
2 \ varepsilon_ {\ theta \ phi} = \ frac {1} {r} \ left (\ frac {\ partial u_ \ varphi} {\ partial \ theta} - u_ \ varphi \ text {ctg} \ theta \ right) + \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial u_ \ theta} {\ partial \ varphi}
2 \ varepsilon_ {r \ theta} = \ frac {\ partial u_ \ theta} {\ partial r} - \ frac {u_ \ theta} {r} + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial u_r} {\ partial \ theta}
2 \ varepsilon_ {\ varphi r} = \ frac {1} {r \ sin \ theta} \ frac {\ partial u_r} {\ partial \ varphi} + \ frac {\ partial u_ \ varphi} {\ partial r} - \ frac {u_ \ varphi} {r} .

2. В циліндричній системі координат

\ Varepsilon_ {rr} = \ frac {\ partial u_r} {\ partial r}
\ Varepsilon_ {\ varphi \ varphi} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial u_ \ varphi} {\ partial \ varphi} + \ frac {u_r} {r}
\ Varepsilon_ {zz} = \ frac {\ partial u_z} {\ partial z}
2 \ varepsilon_ {\ varphi z} = \ frac {1} {r} \ frac {\ partial u_z} {\ partial \ varphi} + \ frac {\ partial u_ \ varphi} {\ partial z}
2 \ varepsilon_ {rz} = \ frac {\ partial u_r} {\ partial z} + \ frac {\ partial u_z} {\ partial r}
2 \ varepsilon_ {r \ varphi} = \ frac {\ partial u_ \ varphi} {\ partial r} - \ frac {u_ \ varphi} {r} + \ frac {1} {r} \ frac {\ partial u_r} {\ partial \ varphi}



Література

  • Лур'є А. І. Теорія пружності. М.: Наука, 1970. - 940 с.
  • Лур'є А. І. Нелінійна теорія пружності. - М.: Наука, 1980. - 512 с.
  • Дімітріенко Ю. І. Нелінійна механіка суцільного середовища. М.: Физматлит, 2010, 624 с.