Тензор кривизни

План:

1 Визначення
2 Пов'язані визначення
3 Компоненти тензора кривизни
4 Симетрії

Введення

Ріманом тензор кривизни представляє собою стандартний спосіб вираження кривизни ріманових многовидів, а в загальному випадку - довільних різноманіть афінної зв'язності, без кручення або з крученням.

Названий на честь Бернхарда Рімана.

1. Визначення

Тензор кривизни $R (u, \; v)$ визначається як лінійне перетворення дотичного простору в кожній точці різноманіття, яке характеризує зміну вектора, паралельно перенесеного по нескінченно малому замкнутому паралелограма, натягнутому на вектори $u, \; v$ .

Тензор кривизни виражається через зв'язність Леві-Чівіта, або в загальному випадку аффинную зв'язність $\ Nabla$ (Яка також називається коваріантний похідної) наступним чином:

$R (u, \; v) w = \ nabla_u \ nabla_v w-\ nabla_v \ nabla_u w-\ nabla_ {[u, \; v]} w,$

де $[U, \; v]$ - дужка Лі.

Якщо векторні поля задаються диференціюванням по координатах, $u = \ partial / \ partial x_i$ і $v = \ partial / \ partial x_j$ , І тому коммутіруют ( $[U, \; v] = 0$ ), Формула приймає спрощений вигляд:

$R (u, \; v) w = \ nabla_u \ nabla_v w-\ nabla_v \ nabla_u w,$

таким чином, тензор кривизни вимірює некомутативних коваріантний похідних.

Примітка. Деякі автори визначають тензор кривизни з протилежним знаком

2. Пов'язані визначення

Лінійне перетворення $w \ mapsto R (u, \; v) w$ називається перетворенням кривизни.
Якщо u і v - Два перпендикулярних одиничних вектора у точці p , То вираз залежить тільки від площини σ в T _p , Яка натягується на u і v .
- Площина σ називається секційним напрямком.
- Величина $\ Langle R (u, \; v) v, \; u \ rangle$ називається секційної кривизною в напрямку σ , І звичайно позначається K _σ .

3. Компоненти тензора кривизни

В системі координат x ^μ компоненти тензора кривизни визначаються так:

${R ^ \ rho} _ {\ sigma \ mu \ nu} = dx ^ \ rho (R (\ partial_ {\ mu}, \; \ partial_ {\ nu}) \ partial_ {\ sigma}),$

де $\ Partial_ {\ mu} = \ partial / \ partial x ^ {\ mu}$ - Векторне поле, в кожній точці дотичне до координатної лінії x ^μ . У термінах символів Крістоффеля :

У двовимірному просторі нетривіальною компонентою є тільки гауссова кривизна.

4. Симетрії

Тензор кривизни Рімана має такі властивості симетрії:

$R (u, \; v) =- R (v, \; u);$

$\ Langle R (u, \; v) w, \; z \ rangle =- \ langle R (u, \; v) z, \; w \ rangle;$

$R (u, \; v) w + R (v, \; w) u + R (w, \; u) v = 0.$

Останнє тотожність було відкрито Річчі, хоча називається першим тотожністю Бьянкі або алгебраїчним тотожністю Бьянкі.

Ці три тотожності задають повний набір симетрій тензора кривизни, тобто для всякого тензора, що задовольняє цим співвідношенням, можна знайти ріманова різноманіття, кривизна якого описується цим тензором. Простий комбінаторний підрахунок показує, що тензор кривизни повинен мати n ² (n ² - 1) / 12 незалежних компонент.

Ще одна корисна співвідношення випливає з цих трьох тотожностей:

$\ Langle R (u, \; v) w, \; z \ rangle = \ langle R (w, \; z) u, \; v \ rangle.$

Тотожність Б'янкі (ще називається другим тотожністю Бьянкі або диференціальним тотожністю Бьянкі) залучає коваріантний похідні:

$\ Nabla_uR (v, \; w) + \ nabla_vR (w, \; u) + \ nabla_wR (u, \; v) = 0.$

У заданій системі координат в околиці деякої точки різноманіття наведені вище тотожності в компонентах тензора кривизни можуть бути записані таким чином. Круглі дужки позначають сімметрізацію; індекси після крапки-коми означають приватну похідну.

R _{a b c d} = - R _{b a c d} = - R _{a b d c;}

R _{a b c d} = R _{c d a b;}

R _{a (b c d)} = R _{a b c d} + R _{a c d b} + R _{a d b c} = 0 (Перше тотожність Бьянкі);

R _{a b (c d; e)} = R _{a b c d; e} + R _{a b d e; c} + R _{a b e c; d} = 0 (Друге тотожність Бьянкі).