Теорема

Будь ціла функція f , Що має не більше ніж рахункове кількість нулів \ {0 \} \ cup \ {a_n \} \ to \ infty , Де точка 0 - нуль порядку \ Lambda , Може бути представлена ​​у вигляді нескінченного твори виду

f (z) = z ^ \ lambda ,

де h - Деяка ціла функція, а невід'ємні цілі числа p_n підібрані таким чином, щоб ряд

\ Sum_1 ^ \ infty \ frac {1} {p_n +1} \ left | \ frac {z} {a_n} \ right | ^ {p_n +1}

сходився при всіх z . При p_n = 0 відповідна множнику номер n експонента опускається (вважається рівною \ Exp (0) = 1 ).

На випадок кратних коренів ця теорема узагальнюється наступним чином. Найбільш загальним виразом для цілої функції f , Яка в заданих точках точках z = a_k ( a_k \ to \ infty ) Має нулі кратності n_k , Є твір

f (z) = z ^ {n_0} ,

де h - Довільна ціла функція, а невід'ємні цілі числа p_n підібрані таким чином, щоб ряд

\ Sum_ {k = 1} ^ \ infty \ frac {n_k} {p_k +1} \ left | \ frac {z} {a_k} \ right | ^ {p_k +1}

сходився при всіх z .


Зауваження

Дана теорема, як і теорема Міттаг-Лефлера, являє собою узагальнення відомого властивості - розкладання многочленів на співмножники - на випадок цілих функцій.

Література

  • Гурвіц А., Курант Р. Теорія функцій. М., 1968. Стор. 125 і сл.
  • Rchs F. Funktionentheorie. Berlin, 1962. Стор. 200.