Теорема Гамільтона - Келі

Теорема Гамільтона - Келі - відома теорема з теорії матриць, названа на честь Вільяма Гамільтона та Артура Келі.

Logo arte.jpg Теорема Гамільтона - Келі
Будь квадратна матриця задовольняє своєму характеристическому рівнянню.

Якщо \ A - Квадратна матриця і \ C (\ lambda) її характеристичний многочлен, то \ C (A) = 0 .

Безпосередня перевірка виправдовує це твердження для матриці порядку 2:

Характеристичний многочлен

c (\ lambda) = \ det (A-\ lambda E) = \ begin {vmatrix} a_ {11} - \ lambda & a_ {12} \ \ a_ {21} & a_ {22} - \ lambda \ end { vmatrix} = \ lambda ^ 2 - (a_ {11} + a_ {22}) \ lambda + (a_ {11} a_ {22}-a_ {12} a_ {21}),

тоді

c (A) = A ^ 2 - (a_ {11} + a_ {22}) A + (a_ {11} a_ {22}-a_ {12} a_ {21}) E =
= \ Begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} \ \ a_ {21} & a_ {22} \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} \ \ a_ {21 } & a_ {22} \ end {bmatrix} - (a_ {11} + a_ {22}) \ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} \ \ a_ {21} & a_ {22} \ end {bmatrix} + (a_ {11} a_ {22}-a_ {12} a_ {21}) \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ \ 0 & 1 \ end {bmatrix} = 0.


Доказ

Розглянемо приєднану (союзну) λ-матрицю \ (A-\ lambda E) ^ * , Де \ E - одинична матриця, тоді згідно з визначенням приєднаної матриці

(A-\ lambda E) ^ * (A-\ lambda E) = (A-\ lambda E) (A-\ lambda E) ^ * = \ det (A-\ lambda E) E = c (\ lambda) E.

Це означає, що \ Lambda -Матриця \ C (\ lambda) E ділиться без залишку на \ A-\ lambda E , А отже, відповідно до слідству з теореми Безу для\ Lambda-Матриць \ C (A) E = 0 , І отже \ C (A) = 0 .


Література