Теорема Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії

Теорема Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії говорить:

Кожна арифметична прогресія, перший член і різницю якої - натуральні взаємно прості числа, містить нескінченне число простих чисел.

Фактично Діріхле довів у 1839 році, що за будь-яких фіксованих натуральних взаємно простих числах l і k :

\ Lim_ {s \ to 1 +} \ frac {\ sum \ limits_p \ dfrac {1} {p ^ s}} {\ ln \ dfrac {1} {s-1}} = \ frac {1} {\ varphi (k)},

де підсумовування ведеться по всім простим числам p з умовою p \ equiv l \ pmod k , А \ Varphi - функція Ейлера.

Це співвідношення можна інтерпретувати як закон рівномірного розподілу простих чисел за класами лишків \ Mod k , Оскільки

\ Lim_ {s \ to 1 +} \ dfrac {\ sum \ limits_p \ dfrac {1} {p ^ s}} {\ ln \ dfrac {1} {s-1}} = 1,

якщо підсумовування ведеться по всім простим числам.


Література

  • Постніков М.М. Теорема Ферма. Введення в теорію алгебраїчних чисел. М.: Наука, 1986.