Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорема Ліувілля про обмежені цілих аналітичних функціях



Теорема Ліувілля про обмежені цілих аналітичних функціях: якщо ціла функція f (z) комплексних змінних z = (z 1,..., z n) обмежена, тобто

| F (z) | \ leqslant M <\ infty

то f (z) є константа.

Узагальнення

| F (z) | \ leqslant C (1 + | z | ^ r)
то f (z) є многочлен по змінним (Z_1, \ dots, z_n) ступеня не вище r .
u (x) (1 + | x | r)
то u (x) є гармонійний многочлен по змінним.

Історія

Ця пропозиція, одне з основних у теорії аналітичних функцій, вперше, мабуть, було опубліковано в 1844 Коші для випадку n = 1 . Ліувілль викладав його на лекціях в 1847, звідки і пішла назва.

Доказ (для випадку \ Mathbb C ^ 1 )

Нехай f (z) обмежена на комплексній площині, тобто

\ Exist M \ forall z | f (z) | \ le M

Скористаємося інтегральної формулою Коші для похідної f (z)

f ^ \ prime (z) = \ frac {1} {2 \ pi i} \ oint \ limits_ {C_R} \ frac {f (\ xi)} {(\ xi-z) ^ 2} d \ xi Де C R - Коло радіуса R , Що містить точку z .

Маємо

| F ^ \ prime (z) | \ le \ frac {1} {2 \ pi} M \ frac {1} {R ^ 2} 2 \ pi R = \ frac {M} {R}

Звідси, в силу того, що інтегральна формула Коші справедлива для будь-якого контуру, маємо \ Lim_ {R \ to \ infty} \ frac {M} {R} = 0

А значить f ^ \ prime (z) = 0 і, отже, f (z) є константою. Теорема доведена.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорема Вейєрштрасса про цілих функціях
Теорема Ліувілля про конформних відображеннях
Теорема Ліувілля про збереження фазового об'єму
Теорема Ліувілля
Теорема про січних
Теорема про монодромії
Теорема про метелика
Теорема про бісектрису
Теорема про заборону клонування
© Усі права захищені
написати до нас