Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорема Паскаля



План:


Введення

Шестикутник вписаний в еліпс, точки перетину трьох пар протилежних сторін лежать на одній (червоною) прямий

Теорема Паскаля - теорема проективної геометрії, яка свідчить, що


Теорема Паскаля двоїста до теоремі Бріаншона.


1. Історія

Вперше сформульована і доведена Блез Паскаль у віці 16 років як узагальнення теореми Паппа. Цю теорему Паскаль узяв за основу свого трактату про конічні перетини. Сам трактат пропав і відомо лише його короткий зміст з листа Лейбніца, який під час свого перебування в Парижі мав його в своїх руках, і короткий виклад основних теорем цього трактату, складене самим Паскалем (Досвід про конічні перетини).


2. Про докази

  • Один із доказів використовує рахунок в подвійних відносинах.
  • Можливий доказ засноване на послідовному застосуванні теореми Менелая.
  • Проективним перетворенням можна перевести описану коника в коло, при цьому умова теореми збережеться. Для кола теорема може бути доведена з існування ізогонального сполучення.
    • У разі опуклого багатокутника, вписаного в коло, можна здійснити проективне перетворення, що залишає коло на місці, а пряму, що проходить через точки перетину двох пар протилежних сторін відвести на нескінченність. У цьому випадку твердження теореми стане очевидним.

3. Застосування

  • Дозволяє будувати конічний перетин по п'яти точках як геометричне місце точок відповідних шостий точці шестикутника у конфігурації.

4. Варіації і узагальнення

Теорема вірна і в тому випадку, коли дві або навіть три сусідніх вершини збігаються (але не більше ніж по дві в одній точці).

У цьому випадку як прямої, що проходить через дві збігаються вершини, приймається дотична до лінії в цій точці.

Зокрема:

Дотична до лінії 2-го порядку, проведена в одній з вершин вписаного п'ятикутника, перетинається зі стороною, протилежної цій вершині, в точці, яка лежить на прямій, що проходить через точки перетину інших пар несуміжних сторін цього п'ятикутника.


Якщо ABCD - чотирикутник, вписаний в лінію 2-го порядку, то точки перетину дотичних в вершинах С і D відповідно зі сторонами AD і ВС і точка перетину прямих А В і CD лежать на одній прямій.


Точки перетину дотичних у вершинах трикутника, вписаного в лінію 2-го порядку, з протилежними сторонами лежать на одній прямій.

Ця пряма називається прямою Паскаля даного трикутника.

Шестикутник ABCDEF (праворуч) вписаний в окружність, точки перетину трьох пар продовжень його протилежних сторін лежать (ліворуч) на одній (синій) прямий MNP (пряма Паскаля)
Теорема вірна навіть для такого шестикутника ABCDEF, вписаного в коло. Пари (кожна свого кольору - червоного, жовтого, синього) його протилежних продовжених сторін перетинаються на лінії Паскаля (біла)

В 1847 з'явилося узагальнення теореми Паскаля, зроблене Мебиусом, яке звучить так:

Якщо багатокутник з 4 n + 2 сторонами вписаний в конічний перетин і протилежні його боку продовжені таким чином, щоб перетнутися в 2 n + 1 точці, то якщо 2 n цих точок лежать на прямій, остання точка буде лежати на тій же прямій.


Теорема Кіркман:

Хай крапки A , B , C , D , E і F лежать на одному конічному перерізі. Тоді прямі Паскаля шестикутників A B F D C E , A E F B D C і A B D F E C перетинаються в одній точці.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Закон Паскаля
Равлик Паскаля
Трикутник Паскаля
Парі Паскаля
Ознака Паскаля
Підсумовує машина Паскаля
Пі-теорема
H-теорема
Теорема
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru