Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорема Стокса



План:


Введення

Теорема Стокса - одна з основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу про інтегруванні диференціальних форм, яка узагальнює кілька теорем аналізу. Названа на честь Дж. Г. Стокса.


1. Загальна формулювання

Нехай на ориентируемого різноманітті Mрозмірності n задані ориентируемое p -Мірне подмногообразіе \ Sigma і диференціальна форма \ Omega ступеня p-1 класу C ^ 1 ( 1 \ leqslant p \ leqslant n ). Тоді, якщо межа подмногообразія \ Partial \ sigma позитивно орієнтована, то

\ Int \ limits_ \ sigma d \ omega = \ int \ limits_ {\ partial \ sigma} \ omega,

де d \ omega позначає зовнішній диференціал форми \ Omega .

Теорема поширюється на лінійні комбінації подмногообразій однієї розмірності, так звані ланцюга. У цьому випадку формула Стокса реалізує подвійність між когомологий де Рама і гомології циклів різноманіття M .


2. Окремі випадки

2.1. Формула Ньютона - Лейбніца

Нехай дана крива l , З'єднує дві точки a і b (Одномірна ланцюг) в різноманітті довільної розмірності. Форма \ Omega нульової ступеня класу C ^ 1 - Це дифференцируемая функція f . Формула Стокса тоді записується у вигляді

\ Int \ limits_l df = \ int \ limits_l f '\, dx = \ int \ limits_a ^ b f' \, dx = f (b)-f (a).

2.2. Теорема Гріна

Нехай M - площину, а D - Деяка її обмежена область з кусково-гладкою Жорданових кордоном. Форма першого ступеня, записана в координатах x і y - Це вираз L \, dx + M \, dy , І для інтеграла цієї форми по межі області D вірно

\ Int \ limits_ {\ partial D} L \, dx + M \, dy = \ iint \ limits_D \ left (\ frac {\ partial M} {\ partial x} - \ frac {\ partial L} {\ partial y } \ right) \, dx \, dy.
Висновок з теореми Стокса

Визначаючи диференціальну форму \ Omega = L \, dx + M \, dy , Знайдемо її зовнішній диференціал :

d \ omega = \ left (\ dfrac {\ partial L} {\ partial x} \, dx + \ dfrac {\ partial L} {\ partial y} \, dy \ right) \ wedge dx + \ left (\ dfrac {\ partial M} {\ partial x} \, dx + \ dfrac {\ partial M} {\ partial y} \, dy \ right) \ wedge dy.

Беручи до уваги, що dx \ wedge dx = 0 і dy \ wedge dy = 0 :

d \ omega = \ underset {- \ frac {\ partial P} {\ partial y} \, dx \, \ wedge \, dy} {\ underbrace {\ dfrac {\ partial P} {\ partial y} \, dy \ wedge dx}} + \ dfrac {\ partial Q} {\ partial x} \, dx \ wedge dy = \ left (\ dfrac {\ partial Q} {\ partial x} - \ dfrac {\ partial P} {\ partial y} \ right) \, dx \ wedge dy.

Звідси використовуючи теорему Стокса:

\ Int \ limits_ {\ partial D} L \, dx + M \, dy = \ iint \ limits_D \ left (\ frac {\ partial M} {\ partial x} - \ frac {\ partial L} {\ partial y } \ right) \, dx \, dy.

Незалежне доказ формули Гріна приведено в її основній статті.


2.3. Формула Кельвіна - Стокса

Нехай \ Sigma - Кусково-гладка поверхню ( p = 2 ) В тривимірному евклідовому просторі ( n = 3 ), \ Mathbf {F} - Диференціюється векторне поле. Тоді циркуляція векторного поля вздовж замкненого контура \ Partial \ Sigma дорівнює потоку ротора (вихору) поля через поверхню \ Sigma , Обмежену контуром:

або в координатній запису:

\ Iint \ limits_ {\ Sigma} \ left (\ frac {\ partial R} {\ partial y} - \ frac {\ partial Q} {\ partial z} \ right) \, dy \, dz + \ left (\ frac {\ partial P} {\ partial z} - \ frac {\ partial R} {\ partial x} \ right) \, dz \, dx + \ left (\ frac {\ partial Q} {\ partial x} - \ frac {\ partial P} {\ partial y} \ right) \, dx \, dy = \ int \ limits_ {\ partial \ Sigma} P \, dx + Q \, dy + R \, dz.
Висновок з теореми Стокса

Розглянемо диференціальну форму \ Omega = P \, dx + Q \, dy + R \, dz . Тоді, використовуючи властивість диференціала диференціальної форми d (\ omega_F ^ 1) = \ omega_ {\ mathrm {rot} \, F} ^ 2 :

d \ omega = \ left (\ frac {\ partial R} {\ partial y} - \ frac {\ partial Q} {\ partial z} \ right) \, dy \ wedge dz + \ left (\ frac {\ partial P } {\ partial z} - \ frac {\ partial R} {\ partial x} \ right) \, dz \ wedge dx + \ left (\ frac {\ partial Q} {\ partial x} - \ frac {\ partial P } {\ partial y} \ right) \, dx \ wedge dy.

Звідси, використовуючи теорему Стокса:

\ Iint \ limits_ \ Sigma \ left (\ frac {\ partial R} {\ partial y} - \ frac {\ partial Q} {\ partial z} \ right) \, dy \, dz + \ left (\ frac {\ partial P} {\ partial z} - \ frac {\ partial R} {\ partial x} \ right) \, dz \, dx + \ left (\ frac {\ partial Q} {\ partial x} - \ frac {\ partial P} {\ partial y} \ right) \, dx \, dy = \ int \ limits_ {\ partial \ Sigma} P \, dx + Q \, dy + R \, dz.

Доказ з використанням формули Гріна

Нехай \ Bold r = \ bold r (u (t), v (t)) . Тоді

\ Iint _ {\ partial \ Sigma} (\ bold a, d \ bold r) = \ int _ \ alpha ^ \ beta ((\ bold a (\ bold r (u (t), v (t)))) , r_u (u (t), v (t)) u '(t) + r_v (u (t), v (t)) v' (t)) dt = \ int _ \ Omega (a, r_u) du + (a, r_v) dv.

Звідси, використовуючи формулу Гріна, отримуємо \ Int _ {\ partial \ Sigma} (\ bold a, d \ bold r) = \ iint _ \ Omega \ left [\ frac {\ partial} {\ partial u} {(\ bold a, \ bold r_v)} - \ frac {\ partial} {\ partial v} {(\ bold a, \ bold r_u)} \ right] du dv = {}

{} = \ Iint _ \ Omega \ left (\ frac {\ partial \ bold a} {\ partial x} x_u + \ frac {\ partial \ bold a} {\ partial y} y_u + \ frac {\ partial \ bold a} {\ partial z} z_u, \ bold r_v \ right) du dv - \ iint _ \ Omega \ left (\ frac {\ partial \ bold a} {\ partial x} x_v + \ frac {\ partial \ bold a } {\ partial y} y_v + \ frac {\ partial \ bold a} {\ partial z} z_v, \ bold r_u \ right) du dv{} = \ Iint _ \ Omega [(\ bold r_v, (\ bold r_u, \ nabla), \ bold a) - (\ bold r_u, (\ bold r_v, \ nabla), \ bold a)] du dv, що за визначенням вихору і є необхідна величина:

\ Iint _ \ Omega [(\ bold r_v, (\ bold {r_u}, \ nabla), \ bold a) - (\ bold {r_u}, (\ bold {r_v}, \ nabla), \ bold a)] du dv = \ iint _ {\ Omega} ({r_u}, {r_v}, \ operatorname {rot} \; \ bold a) du dv = \ iint _ {\ Sigma} (\ operatorname {rot} \; \ bold a, \ bold n) dS.


2.4. Формула Остроградського

Нехай тепер \ Partial V - Кусково-гладка гіперповерхні ( p = n-1 ), Що обмежує деяку область V в n -Мірному просторі. Тоді інтеграл дивергенції поля по області дорівнює потоку поля через кордон області \ Partial V :

\ Int \ limits_V \ mathrm {div} \, \ mathbf {F} \, dV = \ int \ limits_ {\ partial V} \ mathbf {F} \, d \ mathbf {\ Sigma}.

Що еквівалентно запису:

\ Int \ limits_ {\ partial V} \ mathbf {F} \, d \ mathbf {\ Sigma} = \ int \ limits_V \ left (\ frac {\ partial P} {\ partial x} + \ frac {\ partial Q } {\ partial y} + \ frac {\ partial R} {\ partial z} \ right) \, d \ mathbf {V}

або

\ Iint \ limits_ {\ partial V} P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy = \ iiint \ limits_V \ left (\ frac {\ partial P} {\ partial x} + \ frac {\ partial Q} {\ partial y} + \ frac {\ partial R} {\ partial z} \ right) \, dx \, dy \, dz.
Висновок з теореми Стокса

Розглянемо диференціальну форму \ Omega = P \, dy \ wedge dz + Q \, dz \ wedge dx + R \, dx \ wedge dy . Тоді, використовуючи властивість диференціала диференціальної форми d (\ omega_F ^ 2) = \ omega_ {\ mathrm {div} \, F} ^ 3 :

d \ omega = \ left (\ frac {\ partial P} {\ partial x} + \ frac {\ partial Q} {\ partial y} + \ frac {\ partial R} {\ partial z} \ right) \, dx \ wedge dy \ wedge dz.

Звідси, використовуючи теорему Стокса:

\ Iint \ limits_ {\ partial V} P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy = \ iiint \ limits_V \ left (\ frac {\ partial P} {\ partial x} + \ frac {\ partial Q} {\ partial y} + \ frac {\ partial R} {\ partial z} \ right) \, dx \, dy \, dz.


Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Число Стокса
Стокса зсув
Закон Стокса
Міномет Стокса
Рівняння Нав'є - Стокса
H-теорема
Пі-теорема
Теорема
Теорема Котельникова
© Усі права захищені
написати до нас