Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорема синусів (сферична геометрія)



Сферична теорема синусів встановлює пропорційність між синусами сторін a, b, c і синусами протилежних цим сторонам кутів A, B, C сферичного трикутника :

\ Frac {\ sin a} {\ sin A} = \ frac {\ sin b} {\ sin B} = \ frac {\ sin c} {\ sin C}.

Сферична теорема синусів є аналогом плоскої теореми синусів і переходить в останню в межі малості сторін трикутників в порівнянні з радіусом сфери.

Доказ
Малюнок до доведення теореми синусів за допомогою проекцій.

Доказ за допомогою проекцій [1]. На малюнку зображений сферичний трикутник ABC на сфері радіуса R з центром в точці O. BP - перпендикуляр до площини великого кола, що проходить через сторону b, BM - перпендикуляр до OC, BN - перпендикуляр до OA. За твердженням, зворотного теоремі про три перпендикуляри, PM - перпендикуляр до OC, PN - перпендикуляр до OA. Зауважимо, що кут PMB дорівнює π - C, крім того, BN = R sin c і BM = R sin a. Далі, проектуємо BN і BM на BP, отримуємо:

BP = BN \ sin \ angle BNP = R \ sin c \ sin A,
BP = BM \ sin \ angle PMB = R \ sin a \ sin (\ pi - C) = R \ sin a \ sin C,
\ Frac {\ sin a} {\ sin A} = \ frac {\ sin c} {\ sin C}

Аналогічно отримуємо друге рівність.

Доказ, що спирається на вже доведені співвідношення між сторонами і кутами сферичного прямокутного трикутника. Опустимо з вершини C перпендикуляр CD = h на сторону с або її продовження. Висловимо h двояким чином з виниклих при цьому прямокутних трикутників ACD і BCD:

~ \ Sin h = \ sin b \ sin A = sin a \ sin B.

Звідси отримуємо пропорцію

\ Frac {\ sin a} {\ sin A} = \ frac {\ sin b} {\ sin B},

до якої аналогічним чином додаємо ставлення третьої пари "сторона-кут".


Історія

Теорема синусів для сферичних трикутників була сформульована і доведена у творах ряду математиків середньовічного Сходу, які жили в X столітті н. е.. - Абу-л-Вафи, ал-Ходжанді і Ібн Іраку. Ця теорема дозволила спростити вирішення низки завдань сферичної астрономії, які до цього вирішувалися за допомогою теореми Менелая для повного четирехсторонніка.

Примітки

  1. Наводиться за виданням: Степанов М. М. Формули синусів / / Сферична тригонометрія - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - С. 29-32. - 154 с.

Література

  • Матвієвська Г. П. Нариси історії тригонометрії. Ташкент: Фан, 1990.
Сферична тригонометрія
Основні поняття Сферичний трикутник Полярний трикутник Ексцес Двуугольнік
Формули та співвідношення Теореми косинусів Теорема синусів Формула п'яти елементів Формула половини боку Мнемонічне правило Непера Сферична теорема Піфагора Формули Деламбр Формули аналогії Непера Теорема Лежандра
Пов'язані теми Сферична система координат Сферична геометрія Тригранний кут

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Теорема синусів
Сферична геометрія
Теореми косинусів (сферична геометрія)
Формула п'яти елементів (сферична геометрія)
Сферична теорема Піфагора
Теорема Лежандра (сферична тригонометрія)
Теорема Варіньона (геометрія)
Сферична тригонометрія
Сферична аберація
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru