Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теореми косинусів (сферична геометрія)



План:


Введення

Перша і друга сферичні теореми косинусів встановлюють наступні співвідношення між сторонами a, b, c і протилежними їм кутами A, B, C сферичного трикутника :

~ \ Cos c = \ cos a \ cos b + \ sin a \ sin b \ cos C,
~ \ Cos A = - \ cos B \ cos C + \ sin B \ sin C \ cos a.

Ці дві теореми двоїсті по відношенню один до одного, оскільки кути і сторони всякого сферичного трикутника доповнюються до розгорнутого кута сторонами і кутами відповідного полярного трикутника. Тому досить довести одну з них.

Доказ
Малюнок до доведення теореми косинусів за допомогою проекцій.

Доказ проведемо за допомогою проекцій [1]. На малюнку зображений сферичний трикутник ABC на сфері радіуса R з центром в точці O. BP - перпендикуляр до площини великого кола, що проходить через сторону b, BM - перпендикуляр до OC, BN - перпендикуляр до OA. За твердженням, зворотного теоремі про три перпендикуляри, PM - перпендикуляр до OC, PN - перпендикуляр до OA. Зауважимо, що кут PMB дорівнює π - C, крім того, ON = R cos c і OM = R cos a. Далі, проектуємо ламану OMPN на пряму, яка містить ON.

\ Mbox {pr} ON = \ mbox {pr} OM + \ mbox {pr} MP + \ mbox {pr} PN \, ,
PN \ perp OA \ Rightarrow \ mbox {pr} PN = 0 \, ,
\ Mbox {pr} OM = OM \ cos b = R \ cos a \ cos b \, ,
\ Mbox {pr} MP = PM \ cos (\ pi - (\ frac {\ pi} {2} - \ angle MPN)) = PM (- \ sin \ angle MPN) \,
= BM \ cos \ angle PMB (- \ sin b) = BM \ cos (\ pi - C) (- \ sin b) = R \ sin b \ sin a \ cos C \, .

Підставляємо три останні висловлювання і вказане вище вираз ON = R cos c в перший вираз і отримуємо:

~ \ Cos c = \ cos a \ cos b + \ sin a \ sin b \ cos C \, .

Теореми косинусів для двох інших сторін, тобто теорему для cos a і теорему для cos b, отримуємо аналогічно, їх також можна отримати одразу з формули для сторони c за допомогою кругової перестановки літер:

a \ rightarrow b \ rightarrow c \ rightarrow a, A \ rightarrow B \ rightarrow C \ rightarrow A \,


1. Наслідки

Якщо кут C - прямий, перша теорема косинусів переходить в сферичну теорему Піфагора:

~ \ Cos c = \ cos a \ cos b.

2. Історія

Теорема косинусів для сферичного трикутника математиками середньовічного Сходу в загальному вигляді сформульована не була, хоча при вирішенні конкретних астрономічних задач вони іноді користувалися співвідношеннями, рівносильними цієї теореми. Ці співвідношення, використовувані при визначенні висоти Сонця, зустрічаються у творах Сабіта ібн Корр, ал-Махане, ал-Баттані, Ібн Юніса, ал-Біруні.

Вперше теорему косинусів в явному вигляді сформулював у XV столітті Региомонтан, назвавши її "теоремою Альбатегнія" (по латинізованого імені ал-Баттані).


Примітки

  1. Наводиться за виданням: Степанов М. М. Формули косинуса боку / / Сферична тригонометрія - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - С. 24-28. - 154 с.

Література

  • Матвієвська Г. П. Нариси історії тригонометрії. Ташкент: Фан, 1990.
Сферична тригонометрія
Основні поняття Сферичний трикутник Полярний трикутник Ексцес Двуугольнік
Формули та співвідношення Теореми косинусів Теорема синусів Формула п'яти елементів Формула половини боку Мнемонічне правило Непера Сферична теорема Піфагора Формули Деламбр Формули аналогії Непера Теорема Лежандра
Пов'язані теми Сферична система координат Сферична геометрія Тригранний кут

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Сферична геометрія
Теорема синусів (сферична геометрія)
Формула п'яти елементів (сферична геометрія)
Теорема косинусів
Теореми Силова
Теореми теорії графів
Теореми про ізоморфізмі
Сферична панорама
Сферична тригонометрія
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru