Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Теорія операторів



Теорія операторів - розділ функціонального аналізу, який вивчає властивості безперервних лінійних відображень між нормованими просторами. Взагалі кажучи, оператор - це аналог самої звичайної функції або матриці в конечномерное просторі. Але оператор може діяти і в нескінченновимірних просторах.

Відображення T з векторного простору X в векторний простір Y називається лінійним оператором якщо Tx + β y) = α T (x) + β T (y) для будь-яких x і y в X і будь-яких скалярів α і β . Часто пишуть T x замість T (x) . Лінійний оператор з нормованого простору X в нормоване простір Y називається обмеженим якщо знайдеться позитивне дійсне число M таке що \ LVert Tx \ rVert \ leqslant M \ lVert x \ rVert для всіх x в X . Найменша константа M задовольняє такій умові називається нормою оператора T і позначається \ LVert T \ rVert . Неважко бачити що лінійний оператор між нормованими просторами обмежений тоді і тільки тоді коли він безперервний. Під терміном "оператор" в функціональному аналізі зазвичай розуміють обмежений лінійний оператор.

Безліч всіх (обмежених лінійних) операторів з нормованого простору X в нормоване простір Y позначається L (X, \; Y) . У разі коли X = Y пишуть L (X) замість L (X, \; X) . Якщо H - Гільбертів простір, то зазвичай пишуть B (H) замість L (H) . На L (X, \; Y) можна ввести структуру векторного простору через (T + S) x = T x + S x і T) x = Tx) = α (T x) , Де T, \; S \ in L (X, \; Y) , x, \; y \ in X , А α - Довільний скаляр. З введеної вище операторної нормою, L (X, \; Y) перетворюється на нормоване простір.

Зокрема, \ LVert S + T \ rVert \ leqslant \ lVert S \ rVert + \ lVert T \ rVert і \ LVert \ alpha T \ rVert = \ left | \ alpha \ right | \ cdot \ lVert T \ rVert для будь-яких T, \; S \ in L (X, \; Y) і довільного скаляра α . Простір L (X, \; Y) є Банахових тоді і тільки тоді коли Y - Банахових.

Нехай X, \; Y і Z - Нормовані простори, S \ in L (X, \; Y) і T \ in L (Y, \; Z) . Композиція S і T позначається T S і називається "витвором" операторів S і T . Зауважимо що TS \ in L (X, \; Z) і \ LVert TS \ rVert \ leqslant \ lVert T \ rVert \ cdot \ lVert S \ rVert . Якщо X - Банаховому просторі, то L (X) з введеним вище множенням є Банахових алгеброю.

В "теорії операторів" можна виділити декілька основних розділів:

  1. Спектральна теорія вивчає спектр оператора.
  2. Класи операторів. Зокрема, компактні оператори, фредгольмового оператори, ізоморфізми, ізометрії, строго сингулярні оператори і т. п. Вивчають також необмежені оператори і частково певні оператори, зокрема замкнуті оператори.
  3. Оператори на спеціальних нормованих просторах.
  4. Сукупності операторів (тобто, підмножини L (X) ): операторні алгебри, операторні напівгрупи та ін
  5. Теорія інваріантних підпросторів.



Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Список операторів
Комутатор операторів
Перевантаження операторів
Алгебра вершинних операторів
Всесвітня асоціація операторів атомних електростанцій
Теорія 4P
М-теорія
Теорія
Теорія
© Усі права захищені
написати до нас