Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Топологічний векторний простір



Топологічний векторний простір або топологічний лінійний простір - векторний простір наділене топологією, щодо якої операції додавання і множення на число безупинні. Термін використовується в основному в функціональному аналізі.

Визначення

Безліч E називається топологічним векторним простором, якщо

  1. E являє собою векторний простір над полем речових або комплексних чисел;
  2. E є топологічним простором;
  3. Операції додавання і множення на число безупинні щодо заданої в E топології, т. е.
    1. якщо z 0 = x 0 + y 0 , То для кожної околиці U точки z 0 можна вказати такі околиці V і W точок x 0 і y 0 відповідно, що x + y \ in U при x \ in V , y \ in W ;
    2. якщо y 0 = α 0 x 0 , То для кожної околиці U точки y 0 існують така околиця V точки x 0 і таке число \ Varepsilon> 0 , Що \ Alpha x \ in U при | Α - α 0 | <ε і x \ in V .

Типи лінійних топологічних просторів

Залежно від конкретних програм, зазвичай на лінійні топологічні простори накладаються ті чи інші додаткові умови. Нижче перераховані деякі типи лінійних топологічних просторів, упорядкованих (з певною мірою умовності) за наявності у них "хороших" властивостей.

  • Локально опуклі топологічні векторні простори (для стислості - просто "локально опуклі простору"): у таких просторах кожна точка має локальну базу, що складається з опуклих множин. За допомогою так званих функціоналів Маньківського можна показати, що топологічний векторний простір є локально опуклим тоді і тільки тоді, коли його топологія визначається за допомогою сімейства полунорм. Умова локальної опуклості довгий час було саме тим поняттям, на підставі якого тільки й може бути побудована теорія, багата додатками, адже простору, які не є локально опуклими, можуть мати різноманітними патологічними властивостями, і їх геометрія може бути занадто "неприродною" для додатків. Однак, в даний час теорія локально обмежених просторів (в загальному випадку неопуклих) почала активно розвиватися. Отримано приклади зручних для деяких програм локально обмежених просторів.
  • Бочечние простору : локально опуклі простору, де виконується Теорема Банаха - Штейнгауза.
  • Монтелевскіе простору : бочечние простору, що володіють властивістю Гейне - Бореля.
  • Борнологіческіе простору: локально опуклі простору, в яких безперервні лінійні оператори зі значеннями в локально опуклих просторах є в точності обмежені лінійні оператори.
  • LF-простору: LF-простір - це індуктивний межа просторів Фреше. ILH-простору - проективні межі гільбертовому просторі.
  • F-простору : повні топологічні векторні простори з інваріантної (щодо зрушень) метрикою. Зокрема, такими є всі простори L p (p> 0).
  • Простору Фреше: локально опуклі простору, топологія яких задається деякою інваріантної (щодо зрушень) метрикою, або, що те ж саме, рахунковим сімейством полунорм. Поняття простору Фреше являє собою одне з найважливіших узагальнень поняття банаховому просторі. Багато функціональні простору, що представляють інтерес, є просторами Фреше. Простір Фреше можна визначати так само як локально опукле F-простір.
  • Ядерні простору: важливий окремий випадок просторів Фреше; в ядерних просторах кожне обмежене відображення зі значеннями в довільному банаховому просторі є ядерним оператором. Ядерні простору, поряд з банахових, є просторами Фреше, що представляють найбільший інтерес. При цьому класи ядерних і банахових просторів в перетині утворюють клас скінченновимірних просторів.
  • Нормовані простору : локально опуклі простору, топологія яких задається нормою. Лінійні оператори, що діють в нормованих просторах, неперервні тоді і тільки тоді, коли вони обмежені.
  • Банахових просторах : повні нормовані простору. Вони являють собою об'єкт вивчення класичного функціонального аналізу; більша частина теорем аналізу формулюється саме для банахових просторів.
  • Рефлексивні банахових просторах : банахових просторах, природно ізоморфні свого другого сполученню.
  • Гільбертові простору : банахових просторах, норма яких породжується скалярним добутком; незважаючи на те, що ці простори можуть бути і нескінченновимірним, їх геометричні властивості дуже близькі до властивостей скінченновимірних просторів.
  • Евклідові простору : Скінченновимірні гільбертовому просторі. Будь-яке локально компактне Гаусдорфів топологічний векторний простір ізоморфно (як топологічний векторний простір) деякого евклидову простору.

Література

  • Шефер Х., Топологічні векторні простори. - М.: Мир, 1971.
  • Бурбаки Н., Топологічні векторні простори. - М.: Изд. иностр. лит., 1965.
  • Робертсон А, Робертсон В. Топологічні векторні простори. - М.: Мир, 1967.
  • Смолянов О. Г. Аналіз на топологічних лінійних просторах і його програми: навч. посібник. - М.: Изд-во МГУ, 1979. - 86 с. http://lib.mexmat.ru/books/5133

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Топологічний простір
Векторний простір
Векторний простір
Нормоване векторний простір
Нормоване векторний простір
Топологічний індекс
Векторний добуток
Векторний аналіз
© Усі права захищені
написати до нас