Побудова точки Ферма для трикутників з кутами, не переважаючими 120 .

Точка Ферма - точка площини, сума відстаней від якої до вершин трикутника є мінімальною. Точка Ферма дає рішення проблеми Штейнера для вершин трикутника.


1. Побудова

Теорема ( Е. Торрічеллі, Б. Кавальєрі, Т. Сімпсон, Ф. Хейн, Ж. Бертран). Побудуємо на сторонах довільного трикутника ABC поза його рівносторонні трикутники ABC ', BCA', CAB '. Тоді шість кривих - три кола, описані навколо цих правильних трикутників, і прямі AA ', BB', CC 'перетинаються в одній точці X. Якщо всі кути трикутника ABC не перевершують 120 , то X лежить в трикутнику ABC і є точкою Ферма S. У цьому випадку кути між відрізками AS, BS і CS рівні між собою і, значить, рівні 120 . Більш того, довжини відрізків AA ', BB' і CC ', званих лініями Сімпсона, теж рівні між собою і дорівнюють AS + BS + CS. Якщо один з кутів трикутника ABC більше 120 , то X лежить поза трикутника ABC, а точка Ферма S збігається з вершиною тупого кута.

Теорема дає алгоритм побудови точки Ферма за допомогою циркуля і лінійки. У нетривіальні випадку, коли всі кути трикутника менше 120 , точку Ферма знаходять як перетин будь-яких двох з шести кривих, описаних в теоремі.

Експериментальне побудова точки Ферма.

Фізично цю точку можна побудувати так: відзначимо на плоскій гладкій горизонтальній поверхні точки A, B і C і просвердлити в зазначених місцях наскрізні отвори; зв'яжемо три нитки і пропустимо зверху їх вільні кінці через отвори; прив'яжемо до вільних кінців важки однакової маси; коли система прийде в рівновагу, вузол виявиться в крапці Ферма для трикутника ABC.


2. Точка Торрічеллі

Точка Торрічеллі - точка трикутника, з якої все сторони видно під кутом в 120 . Існує тільки в трикутниках з кутами меншими 120 , при цьому, вона єдина і, значить, збігається з точкою Ферма.

Література

  • Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М. Д. Аксьонова. - М.: Аванта +, 2001. - 688 c.: Іл.
  • А. О. Іванов, А. А. Тужілін. Теорія екстремальних мереж. - Москва-Іжевськ: Інститут комп'ютерних досліджень, 2003. - ISBN 5-93972-292-X

Примітки