Формула Ейлера

План:

1 Історія
2 Похідні формули
3 Застосування в комплексному аналізі
4 Взаємозв'язок з тригонометрією
5 Доказ
6 Показова форма комплексного числа

Введення

Геометричний сенс формули Ейлера

Формула Ейлера названа на честь Леонарда Ейлера, який її ввів, і пов'язує комплексну експоненту з тригонометричними функціями.

Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого дійсного числа x виконано наступне рівність:

$~ E ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x$ ,

де e - основа натурального логарифма,

i - уявна одиниця.

1. Історія

Формула Ейлера вперше була приведена в книзі "Гармонія заходів" англійського математика Роджера Котса (помічника Ньютона), яка була видана в 1722, вже після смерті автора. Котс відкрив формулу близько 1714 і висловив її в логарифмічній формі:

$~ \ Ln (\ cos x + i \ sin x) = i x$ .

Ейлер опублікував формулу в її звичному вигляді у статті 1740 і в книзі "Введення в аналіз нескінченно малих" ( 1748), побудувавши доказ на рівності нескінченних розкладань в статечні ряди правої і лівої частин. Ні Ейлер, ні Котс не уявляли собі геометричній інтерпретації формули: уявлення про комплексних числах як точках на комплексній площині з'явилося приблизно 50 років тому (див. Г. Вессель).

2. Похідні формули

За допомогою формули Ейлера можна визначити функції sin і cos наступним чином:

$\ Sin x = \ frac {e ^ {ix}-e ^ {-ix}} {2i}$ ,

$\ Cos x = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2}$ .

Далі можна ввести поняття тригонометричних функцій комплексної змінної. Нехай x = i y , Тоді:

$\ Sin iy = \ frac {e ^ {-y}-e ^ y} {2i} = i \ mathop {\ mathrm {sh}} \, y$ ,

$\ Cos iy = \ frac {e ^ {-y} + e ^ y} {2} = \ mathop {\ mathrm {ch}} \, y$ .

Відоме тотожність Ейлера, що зв'язує п'ять фундаментальних математичних констант:

e ^{i π} + 1 = 0

є окремим випадком формули Ейлера при x = π .

3. Застосування в комплексному аналізі

Завдяки формулі Ейлера з'явилася так звана тригонометрична і показова запис комплексного числа: x = a + i b = | x | (cos φ + i sin φ) = | x | e ^{i φ} .

Також значним наслідком можна вважати формули зведення комплексного числа в довільну ступінь: x = | x | e ^{i φ} , x ⁿ = | x | ⁿ e ^{n i φ} . Геометричний зміст даної формули наступний: при зведенні числа x до степеня n його відстань до центру зводиться до степеня n , А кут повороту щодо осі O X збільшується в n разів.

Формула зведення в ступінь вірна не тільки для цілих n , А й для дійсних. Зокрема, комплексна запис числа дозволяє знаходити коріння будь-якого ступеня з будь-якого комплексного числа, що й використовується при доказі основний теореми алгебри : "Многочлен ступеня n має рівно n комплексних коренів ".

4. Взаємозв'язок з тригонометрією

Формула Ейлера надає зв'язок між математичним аналізом і тригонометрією, а також дозволяє інтерпретувати функції синуса і косинуса як зважені суми експоненційної функції:

$\ Cos x = \ mathrm {Re} \ {e ^ {ix} \} = {e ^ {ix} + e ^ {-ix} \ over 2}$

$\ Sin x = \ mathrm {Im} \ {e ^ {ix} \} = {e ^ {ix} - e ^ {-ix} \ over 2i}.$

Вищевказані рівняння можуть бути отримані шляхом додавання або віднімання формул Ейлера:

$e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x \;$

$e ^ {-ix} = \ cos (- x) + i \ sin (- x) = \ cos x - i \ sin x \;$

з наступним рішенням щодо синуса або косинуса.

Також ці формули можуть слугувати визначенням тригонометричних функцій комплексної змінної. Наприклад, виконуючи підстановку x = iy, отримуємо:

$\ Cos (iy) = {e ^ {-y} + e ^ {y} \ over 2} = \ cosh (y)$

$\ Sin (iy) = {e ^ {-y} - e ^ {y} \ over 2i} = - {1 \ over i} {e ^ {y} - e ^ {-y} \ over 2} = i \ sinh (y).$

Комплексні експоненти дозволяють спростити тригонометричні розрахунки, оскільки ними простіше маніпулювати, ніж синусоїдальними компонентами. Один з підходів передбачає перетворення синусоїд у відповідні експоненціальні вираження. Після спрощення, результат вираження залишається речовим. Наприклад:

$\ Begin {align} \ cos x \ cdot \ cos y & = \ frac {(e ^ {ix} + e ^ {-ix})} {2} \ cdot \ frac {(e ^ {iy} + e ^ {-iy})} {2} \ \ & = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {e ^ {i (x + y)} + e ^ {i (xy)} + e ^ {i (-x + y)} + e ^ {i (-xy)}} {2} \ \ & = \ frac {1} {2} \ left [\ underbrace {\ frac {e ^ {i (x + y )} + e ^ {-i (x + y)}} {2}} _ {\ cos (x + y)} + \ underbrace {\ frac {e ^ {i (xy)} + e ^ {-i (xy)}} {2}} _ {\ cos (xy)} \ right]. \ End {align}$

Суть іншого підходу в поданні синусоїд в якості речових частин комплексного вираження і проведення маніпуляцій безпосередньо з комплексним вираженням. Наприклад:

$\ Begin {align} \ cos (nx) & = \ mathrm {Re} \ {\ e ^ {inx} \ \} = \ mathrm {Re} \ {\ e ^ {i (n-1) x} \ cdot e ^ {ix} \ \} \ \ & = \ mathrm {Re} \ {\ e ^ {i (n-1) x} \ cdot (e ^ {ix} + e ^ {-ix} - e ^ { -ix}) \ \} \ \ & = \ mathrm {Re} \ {\ e ^ {i (n-1) x} \ cdot \ underbrace {(e ^ {ix} + e ^ {-ix})} _ {2 \ cos (x)} - e ^ {i (n-2) x} \ \} \ \ & = \ cos [(n-1) x] \ cdot 2 \ cos (x) - \ cos [ (n-2) x]. \ End {align}$

Дана формула використовується для рекурсивного обчислення значень cos (nx) для цілих значень n і довільних значень x (в радіанах).

5. Доказ

Доведення формули Ейлера досить тривіально. Розкладемо функцію e ^{i x} в ряд Тейлора за ступенями x . Отримаємо:

$e ^ {ix} = 1 + \ frac {ix} {1!} + \ frac {(ix) ^ 2} {2!} + \ frac {(ix) ^ 3} {3!} + \ ldots = \ left (1 - \ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!} - \ frac {x ^ 6} {6!} + \ ldots \ right) + i \ left ( \ frac {x} {1!} - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ frac {x ^ 7} {7!} + \ ldots \ right )$

Але

$1 - \ frac {x ^ 2} {2!} + \ Frac {x ^ 4} {4!} - \ Frac {x ^ 6} {6!} + \ Ldots = \ cos x$

$\ Frac {x} {1!} - \ Frac {x ^ 3} {3!} + \ Frac {x ^ 5} {5!} - \ Frac {x ^ 7} {7!} + \ Ldots = \ sin x$

Тому $~ E ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x$

ч. т. д.

6. Показова форма комплексного числа

Показова і тригонометричні форми комплексних чисел пов'язані між собою формулою Ейлера.

Нехай комплексне число z в тригонометричній формі має вигляд z = r (cos φ + i sin φ) . На підставі формули Ейлера вираз в дужках можна замінити на показове вираження. В результаті отримаємо:

z = r e ^{i φ}

Цей запис називається показовою формою комплексного числа. Так само, як і в тригонометричній формі, тут r = | z | , φ = a r g z .

Література

John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.