Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Формула п'яти елементів (сферична геометрія)



План:


Введення

Малюнок до формули п'яти елементів і її доказу за допомогою проекцій.

Формула п'яти елементів в сферичної тригонометрії виражає співвідношення між п'ятьма елементами сферичного трикутника [1].


1. Опис

Весь основний набір формул п'яти елементів для різних кутів і сторін трикутника може бути розділений на дві групи:

  • Формули, що зв'язують три сторони і два кути, інакше звані формулами синуса сторони на косинус кута. Ось одна з них [2] :
~ \ Sin a \ cos B = \ cos b \ sin c - \ sin b \ cos c \ cos A,
  • Формули, що зв'язують три кути і дві сторони, інакше звані формулами синуса кута на косинус сторони. Одна з них має вигляд:
~ \ Sin A \ cos b = \ sin C \ cos B + \ cos C \ sin B \ cos a,

У формулі синуса сторони на косинус кута сторона і прилегла до неї кут виражаються через інші дві сторони і кут між ними. Для кожної сторони можна взяти один з двох прилеглих кутів, тому всього таких формул шість.

У формулі синуса кута на косинус сторони сторона і прилегла до неї кут виражаються через інші два кути і прилеглу до них бік. Таких формул - теж шість.

Кожна формула синуса кута на косинус сторони двоїста до однієї з формул синуса сторони на косинус кута, оскільки кути і сторони всякого сферичного трикутника доповнюються до розгорнутого кута сторонами і кутами відповідного полярного трикутника. Тому досить довести лише формули синуса сторони на косинус кута. Більше того, дві формули синуса сторони на косинус одного прилежащего кута і синуса тієї ж сторони на косинус іншого прилежащего кута виходять абсолютно аналогічно. А з цих двох формул інші чотири формули синуса сторони на косинус кута виходять за допомогою кругової перестановки літер:

a \ rightarrow b \ rightarrow c \ rightarrow a, A \ rightarrow B \ rightarrow C \ rightarrow A \,

Таким чином, досить довести одну з формул синуса сторони на косинус кута.


2. Доказ

Доказ проведемо за допомогою проекцій [1]. На малюнку зображений сферичний трикутник ABC на сфері радіуса R з центром в точці O. BP - перпендикуляр до площини великого кола, що проходить через сторону b, BM - перпендикуляр до OC, BN - перпендикуляр до OA. За твердженням, зворотного теоремі про три перпендикуляри, PM - перпендикуляр до OC, PN - перпендикуляр до OA. Зауважимо, що кут MPN дорівнює b, крім того, BM = R sin a, BN = R sin c і OM = R cos a. Далі, проектуємо ламану NOMP на пряму, яка містить NP.

\ Mbox {pr} NP = \ mbox {pr} NO + \ mbox {pr} OM + \ mbox {pr} MP \,
\ Mbox {pr} NP = NP = BN \ cos A = R \ sin c \ cos A \,
NO \ perp NP \ Rightarrow \ mbox {pr} NO = 0 \,
\ Mbox {pr} OM = OM \ cos (\ frac {\ pi} {2} - \ angle MON) = R \ cos a \ sin b \,
\ Mbox {pr} MP = MP \ cos \ angle MPN = MP \ cos b = BM cos (\ pi - C) \ cos b = - R \ sin a \ cos b \ cos C \,

Підставляємо чотири останні висловлювання на перше і отримуємо:

\ Sin c \ cos A = \ cos a \ sin b - \ sin a \ cos b \ cos C \,


3. Застосування

Застосовуючи формулу п'яти елементів разом з деякими іншими формулами сферичної тригонометрії, можна, наприклад, отримати формули перетворення між системами небесних координат : горизонтальній, екваторіальній, екліптичною і галактичної [3].


4. Історія

Формула п'яти елементів була виведена Леонардом Ейлером в 18 столітті [4].

Примітки

  1. 1 2 Степанов М. М. Формули п'яти елементів / / Сферична тригонометрія - М.-Л.: ОГИЗ, 1948. - С. 32-35. - 154 с.
  2. Spherical Trigonometry - mathworld.wolfram.com / SphericalTrigonometry.html на сайті MathWorld
  3. Цесевич В.П. Що і як спостерігати на небі - 6-е изд. - М .: Наука, 1984. - С. 68-74. - 304 с.
  4. Сферична тригонометрія - slovari.yandex.ru / Сферична тригонометрія / БСЕ / Сферична тригонометрія / - стаття з Великої радянської енциклопедії (3-е видання)


Сферична тригонометрія
Основні поняття Сферичний трикутник Полярний трикутник Ексцес Двуугольнік
Формули та співвідношення Теореми косинусів Теорема синусів Формула п'яти елементів Формула половини боку Мнемонічне правило Непера Сферична теорема Піфагора Формули Деламбр Формули аналогії Непера Теорема Лежандра
Пов'язані теми Сферична система координат Сферична геометрія Тригранний кут

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Сферична геометрія
Теореми косинусів (сферична геометрія)
Теорема синусів (сферична геометрія)
З дев'яти до п'яти
Група дев'яти
Директорія (Рада п'яти)
Аналіз п'яти сил Портера
Коло дев'яти точок
Математика в дев'яти книгах
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru