Фундаментальним класом називається гомологічний клас орієнтованого різноманіття, який відповідає "цілого різноманіттю". Інтуїтивно фундаментальний клас можна собі уявити як суму Симплекс максимальної розмірності підходящої тріангуляції різноманіття.
Фундаментальний клас різноманіття звичайно позначається
.
1. Визначення
1.1. Замкнена ориентируемое різноманіття
Якщо різноманіття розмірності
є зв'язковим ориентируемого і замкнутим, то
-А група гомології є нескінченної циклічної :
. При цьому орієнтація різноманіття визначається вибором породжує елемента групи або ізоморфізму
. Породжує елемент називається фундаментальним класом.
Формально незв'язних орієнтуючись різноманіттю в якості фундаментального класу можна зіставити суму
фундаментальних класів всіх його зв'язних компонент
. Однак, цей елемент не є породжує групи
.
1.2. Неоріентіруемое різноманіття
Для неоріентіруемого різноманіття група , Якщо при цьому M є зв'язним і замкнутим, то
. Породжує елемент групи
називається фундаментальним класом неоріентіруемого різноманіття M.
-Фундаментальний клас різноманіття використовується при визначенні чисел Штіфель - Уїтні.
1.3. Різноманіття з краєм
Якщо M є компактним ориентируемого різноманіттям з краєм , То n-я відносна група гомології є нескінченної циклічної :
. Породжує елемент групи
називається фундаментальним класом різноманіття з краєм.
2. Двоїстість Пуанкаре
Головний результат гомологічної теорії різноманіть становить подвійність Пуанкаре між групами гомології і когомологий різноманіття. Відповідний ізоморфізм Пуанкаре (Для ориентируемого) і
(Для неоріентіруемого) різноманіття визначається відповідним фундаментальним класом різноманіття:
,
де позначає
-Множення гомологічних і когомологіческіх класів.
3. Ступінь відображення
Якщо ,
- Зв'язкові замкнуті орієнтовані різноманіття однієї розмірності, і
- безперервне відображення, то
,
де - Деякий ціле число. Це число називається ступенем відображення
і позначається deg f.
Література
- А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопічною топології - М: Наука, 1989.
- А. Дольд Лекції з алгебраїчної топології - М: Світ, 1976.