Фундаментальним класом називається гомологічний клас орієнтованого різноманіття, який відповідає "цілого різноманіттю". Інтуїтивно фундаментальний клас можна собі уявити як суму Симплекс максимальної розмірності підходящої тріангуляції різноманіття.

Фундаментальний клас різноманіття M звичайно позначається [M] .


1. Визначення

1.1. Замкнена ориентируемое різноманіття

Якщо різноманіття M розмірності n є зв'язковим ориентируемого і замкнутим, то n -А група гомології є нескінченної циклічної : H_n (M, \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z} . При цьому орієнтація різноманіття визначається вибором породжує елемента групи або ізоморфізму \ Mathbf {Z} \ to H_n (M, \ mathbf {Z}) . Породжує елемент називається фундаментальним класом.

Формально незв'язних орієнтуючись різноманіттю M = \ cup_i M_i в якості фундаментального класу можна зіставити суму \ Sum [M_i] фундаментальних класів всіх його зв'язних компонент M_i . Однак, цей елемент не є породжує групи H_n (M, \ mathbf {Z}) = \ oplus H_n (M_i, \ mathbf {Z}) = \ mathbf {Z} \ oplus \ dots \ oplus \ mathbf {Z} .


1.2. Неоріентіруемое різноманіття

Для неоріентіруемого різноманіття група H_n (M; \ mathbf {Z}) = 0 , Якщо при цьому M є зв'язним і замкнутим, то H_n (M; \ mathbf {Z} _2) = \ mathbf {Z} _2 . Породжує елемент групи H_n (M; \ mathbf {Z} _2) називається фундаментальним класом неоріентіруемого різноманіття M.

\ Mathbf {Z} _2 -Фундаментальний клас різноманіття використовується при визначенні чисел Штіфель - Уїтні.


1.3. Різноманіття з краєм

Якщо M є компактним ориентируемого різноманіттям з краєм \ Partial M , То n-я відносна група гомології є нескінченної циклічної : H_n (M, \ partial M) \ cong \ mathbf {Z} . Породжує елемент групи H_n (M, \ partial M) називається фундаментальним класом різноманіття з краєм.


2. Двоїстість Пуанкаре

Головний результат гомологічної теорії різноманіть становить подвійність Пуанкаре між групами гомології і когомологий різноманіття. Відповідний ізоморфізм Пуанкаре D: H ^ k (M; \ mathbf {Z}) \ to H_ {n-k} (M; \ mathbf {Z}) (Для ориентируемого) і D: H ^ k (M; \ mathbf {Z} _2) \ to H_ {nk} (M; \ mathbf {Z} _2) (Для неоріентіруемого) різноманіття визначається відповідним фундаментальним класом різноманіття:

D (\ alpha) = [M] \ frown \ alpha ,

де \ Frown позначає \ Frown -Множення гомологічних і когомологіческіх класів.


3. Ступінь відображення

Якщо M , N - Зв'язкові замкнуті орієнтовані різноманіття однієї розмірності, і f: M \ to N - безперервне відображення, то

f_ * [M] = k [N] ,

де k - Деякий ціле число. Це число називається ступенем відображення f і позначається deg f.


Література

  • А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопічною топології - М: Наука, 1989.
  • А. Дольд Лекції з алгебраїчної топології - М: Світ, 1976.