Фундаментальний клас

Фундаментальним класом називається гомологічний клас орієнтованого різноманіття, який відповідає "цілого різноманіттю". Інтуїтивно фундаментальний клас можна собі уявити як суму Симплекс максимальної розмірності підходящої тріангуляції різноманіття.

Фундаментальний клас різноманіття звичайно позначається [M] .

1. Визначення

1.1. Замкнена ориентируемое різноманіття

Якщо різноманіття розмірності є зв'язковим ориентируемого і замкнутим, то -А група гомології є нескінченної циклічної : $H_n (M, \ mathbf {Z}) \ cong \ mathbf {Z}$ . При цьому орієнтація різноманіття визначається вибором породжує елемента групи або ізоморфізму $\ Mathbf {Z} \ to H_n (M, \ mathbf {Z})$ . Породжує елемент називається фундаментальним класом.

Формально незв'язних орієнтуючись різноманіттю $M = \ cup_i M_i$ в якості фундаментального класу можна зіставити суму $\ Sum [M_i]$ фундаментальних класів всіх його зв'язних компонент M_i . Однак, цей елемент не є породжує групи $H_n (M, \ mathbf {Z}) = \ oplus H_n (M_i, \ mathbf {Z}) = \ mathbf {Z} \ oplus \ dots \ oplus \ mathbf {Z}$ .

1.2. Неоріентіруемое різноманіття

Для неоріентіруемого різноманіття група $H_n (M; \ mathbf {Z}) = 0$ , Якщо при цьому M є зв'язним і замкнутим, то $H_n (M; \ mathbf {Z} _2) = \ mathbf {Z} _2$ . Породжує елемент групи $H_n (M; \ mathbf {Z} _2)$ називається фундаментальним класом неоріентіруемого різноманіття M.

$\ Mathbf {Z} _2$ -Фундаментальний клас різноманіття використовується при визначенні чисел Штіфель - Уїтні.

1.3. Різноманіття з краєм

Якщо M є компактним ориентируемого різноманіттям з краєм $\ Partial M$ , То n-я відносна група гомології є нескінченної циклічної : $H_n (M, \ partial M) \ cong \ mathbf {Z}$ . Породжує елемент групи $H_n (M, \ partial M)$ називається фундаментальним класом різноманіття з краєм.

2. Двоїстість Пуанкаре

Головний результат гомологічної теорії різноманіть становить подвійність Пуанкаре між групами гомології і когомологий різноманіття. Відповідний ізоморфізм Пуанкаре $D: H ^ k (M; \ mathbf {Z}) \ to H_ {n-k} (M; \ mathbf {Z})$ (Для ориентируемого) і $D: H ^ k (M; \ mathbf {Z} _2) \ to H_ {nk} (M; \ mathbf {Z} _2)$ (Для неоріентіруемого) різноманіття визначається відповідним фундаментальним класом різноманіття: