Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Фільтр (математика)



План:


Введення

Фільтр - підмножина решітки, що задовольняє певним умовам. Поняття походить з загальної топології, де виникають фільтри на решітці всіх підмножин будь-якого безлічі, упорядкованих відношенням включення. Фільтр - поняття, двоїсте ідеалу.


1. Визначення у рамках теорії грат

Підмножина F решітки L називається фільтром, якщо

  • F \ not = \ emptyset
  • для всіх a, b \ in F , a \ land b \ in F
  • для всіх a \ in F і b таких, що a \ leq b , b \ in F

Фільтр називається власним, якщо F \ neq L .

Власний фільтр такий, що не існує власних фільтрів, його містять, називається ультрафільтрів або максимальним фільтром.

Фільтр F називається простим, якщо в ньому для всіх a, b \ in F з того, що a \ lor b \ in F , Випливає, що або a \ in F , Або b \ in F .

Мінімальний фільтр, що містить даний елемент x , Називається головним фільтром, згенерованих головним елементом x .

Якщо F фільтр, то L \ backslash F є ідеалом.


2. Фільтри на множинах

Окремим випадком фільтра є фільтр на множині. Для кожного безлічі X можна визначити грати його підмножин (\ Mathcal P (X), \ subseteq) . Тоді фільтр \ Mathfrak F на X определяестя як підмножина \ Mathcal P (X) , Що задовольняє таким умовам:

  • \ Mathfrak F \ neq \ varnothing
  • \ Varnothing \ notin \ mathfrak F
  • перетин будь-яких двох елементів \ Mathfrak F лежить в \ Mathfrak F
  • надмножество якого елемента \ Mathfrak F лежить в \ Mathfrak F

Фільтр виду \ Mathfrak F_Z = \ {Y \ in \ mathcal P (X) \ mid Z \ subseteq Y \} називається фільтром, породжених безліччю Z . Фільтр, породжений безліччю з одного елемента, називається головним. Головний фільтр є ультрафільтрів.



2.1. База фільтру

Нехай \ Mathfrak F - Фільтр на безлічі X . Сімейство підмножин \ Mathfrak B \ subset \ mathfrak F називається базою (базисом) фільтра \ Mathfrak F , Якщо будь-який елемент фільтра \ Mathfrak F містить певний елемент бази \ Mathfrak B , Тобто для будь-якого Y \ in \ mathfrak F існує B \ in \ mathfrak B таке, що B \ subset Y . При цьому фільтр \ Mathfrak F збігається з сімейством всіляких надмножество множин з \ Mathfrak B . Зокрема, фільтри, які мають загальну базу, збігаються. Кажуть також, що база \ Mathfrak B породжує фільтр \ Mathfrak F

Для того, щоб сімейство \ Mathfrak B = \ {B \} підмножина безлічі X було базою деякого фільтра на X необхідно і достатньо виконання наступних умов (аксіом бази)

  • \ Mathfrak B \ neq \ varnothing
  • \ Varnothing \ not \ in \ mathfrak B
  • для будь-яких B_1, B_2 \ in \ mathfrak B існує B_3 \ in \ mathfrak B таке, що B_3 \ subset B_1 \ cap B_2

Дві бази \ Mathfrak B і \ Mathfrak B ' називаються еквівалентними, якщо будь-який елемент B \ in \ mathfrak B містить в собі певний елемент B '\ in \ mathfrak B' , І навпаки, будь-який елемент B '\ in \ mathfrak B' містить в собі певний елемент B \ in \ mathfrak B

Еквівалентні бази породжують один і той же фільтр. Серед усіх баз, еквівалентних даній базі \ Mathfrak B існує максимальна по включенню база, а саме, породжуваний цією базою фільтр \ Mathfrak F . Таким чином, між класами еквівалентних баз і фільтрами існує природне взаємно-однознаное відповідність.


2.2. Порівняння фільтрів

Нехай на множині X задані два фільтри \ Mathfrak F і \ Mathfrak F ' . Кажуть, що фільтр \ Mathfrak F ' мажорірует фільтр \ Mathfrak F ( \ Mathfrak F ' сильніше \ Mathfrak F , \ Mathfrak F ' тонше \ Mathfrak F ), Якщо \ Mathfrak F '\ supset \ mathfrak F . У цьому випадку також кажуть, що фільтр \ Mathfrak F мажоріруется фільтром \ Mathfrak F ' ( \ Mathfrak F слабше \ Mathfrak F ' , \ Mathfrak F грубіше \ Mathfrak F ' ).

Кажуть, що база \ Mathfrak B ' сильніше бази \ Mathfrak B , І записують \ Mathfrak B '\ geqslant \ mathfrak B , Якщо будь-який елемент B \ in \ mathfrak B містить в собі певний елемент B '\ in \ mathfrak B' . База \ Mathfrak B ' сильніше бази \ Mathfrak B тоді і тільки тоді, коли фільтр \ Mathfrak F ' , Породжений базою \ Mathfrak B ' , Сильніше фільтра \ Mathfrak F , Породженого базою \ Mathfrak B .

Бази \ Mathfrak B і \ Mathfrak B ' еквівалентні тоді і тільки тоді, коли одночасно \ Mathfrak B '\ geqslant \ mathfrak B і \ Mathfrak B \ geqslant \ mathfrak B ' .


2.3. Фільтри в топологічних просторах

Нехай (X, \ mathcal T) - топологічний простір і \ Mathfrak F - Фільтр на безлічі X . Точка a \ in X називається межею фільтра \ Mathfrak F , Якщо будь-яка околиця V (a) точки a належить фільтру \ Mathfrak F . Позначення: \ Lim \ mathfrak F = a . Для фільтру \ Mathfrak F , Породженого базою \ Mathfrak B , Рівність \ Lim \ mathfrak F = a виконується тоді і тільки тоді, коли для будь околиця V (a) цілком містить деяку безліч з \ Mathfrak B .

В хаусдорфових топологічному просторі фільтр може мати не більше одного межі.

Точка a \ in X називається граничною точкою (точкою дотику, частковим межею) фільтра \ Mathfrak F , Якщо a належить замикання якого безлічі з \ Mathfrak F , Тобто a \ in \ overline Y для всіх Y \ in \ mathfrak F . Рівносильно, для будь-який околиці V (a) точки a і для будь-якого Y \ in \ mathfrak F виконано V (a) \ cap Y \ neq \ varnothing . Будь гранична точка ультрафільтр є його межею.

В компактному топологічному просторі будь-який фільтр має граничну точку, а будь ультрафільтр має межу.


3. Приклади

  • множина всіх околиць точки топологічного простору є фільтром.
  • якщо X нескінченна безліч, то безліч додатків кінцевих множин є фільтром. Такий фільтр називається коконечним фільтром або фільтром Фреше.
  • якщо X - Нескінченна безліч потужності \ Mathfrak m , То безліч додатків множин потужності <\ Mathfrak m теж є фільтром.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Фільтр
Еліптичний фільтр
Фільтр (електроніка)
Фільтр Байєра
Великий фільтр
Смуговий фільтр
Фільтр Вина
Цифровий фільтр
Аналоговий фільтр
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru