Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Циклічна група



План:


Введення

В теорії груп група (G, \ cdot) називається циклічною, якщо вона може бути породжена одним елементом a, тобто всі її елементи є ступенями a (або, якщо використовувати адитивну термінологію, представимо у вигляді na, де n - ціле число). Математичне позначення: G = \ langle a \ rangle .

Незважаючи на свою назву, група не обов'язково повинна буквально представляти собою "цикл". Може трапитися так, що всі ступені g n будуть різними. Породжена таким чином група називається нескінченною циклічної групою і ізоморфна групі цілих чисел по додаванню ( \ Mathbb {Z}, + ).


1. Властивості

  • Всі циклічні групи абелеві.
  • Кожна кінцева циклічна група ізоморфна групі \ Mathbb {Z} _n - \ {0,1, \ dots, n-1 \} з складанням по модулю n (її також позначають \ Mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} ), А кожна нескінченна - ізоморфна \ Mathbb {Z} , Групі цілих чисел по додаванню.
    • Зокрема, для кожного натурального числа n існує єдина (з точністю до ізоморфізму) циклічна група порядку n.
  • Кожна підгрупа циклічної групи циклічна.
  • У циклічної групи порядку n існує рівно φ (n) породжують елементів, де φ - функція Ейлера
  • Якщо p - просте число, то будь-яка група порядку p циклічна і єдина з точністю до ізоморфізму (це випливає з теореми Лагранжа).
  • Пряме твір двох циклічних груп порядків n і m циклічно тоді і тільки тоді, коли n і m взаємно прості.
    • Наприклад, \ Mathbb {Z} _ {12} ізоморфна \ Mathbb {Z} _3 \ times \ mathbb {Z} _4 , Але не ізоморфна \ Mathbb {Z} _6 \ times \ mathbb {Z} _2 .
  • Основна теорема про конечнопорожденних абелевих групах стверджує, що будь-яка конечнопорожденная абелева група єдиним чином розкладається в пряме твір примарний циклічних груп. Примарний групою може бути циклічна група \ Mathbb {Z} _ {p ^ n} , Де p - просте число, або \ Mathbb {Z} .
  • Мультиплікативна група будь-якого кінцевого поля є циклічною (вона породжується елементом поля найбільшого порядку).
  • Кільце ендоморфізмов групи \ Mathbb {Z} _n ізоморфно кільцю \ Mathbb {Z} _n . При цьому ізоморфізмі числу r відповідає ендоморфізм \ Mathbb {Z} _n , Який зіставляє елементу суму r його примірників. Таке відображення буде біекціей, якщо і тільки якщо r взаємно просто з n, так що група автоморфізмів \ Mathbb {Z} _n ізоморфна \ Mathbb {Z} _n ^ {\ times} .

2. Приклади

  • Група коренів з одиниці ступеня n по множенню.
  • Група Галуа будь-якого кінцевого розширення кінцевого поля скінченна і циклічна; назад, якщо дано кінцеве поле F і кінцева циклічна група G, існує кінцеве розширення F групою Галуа якого буде G.

3. Докази

Твердження. Кожна підгрупа циклічної групи циклічна.

Доказ. Нехай G - Циклічна група і H - Підгрупа групи G . Якщо група G тривіальна (складається з одного елементу), то H = G і H циклічна. Якщо H - Тривіальна підгрупа (складається з одиничного елемента або збігається з усією групою G), то H циклічна. Далі в ході докази будемо вважати, що G і H не є тривіальними.

Нехай g - Утворюючий елемент групи G , А n - Найменше додатне ціле число, таке що g ^ n \ in H . Твердження: H = \ langle g ^ n \ rangle

\ Langle g ^ n \ rangle \ subseteq H

{\ Forall a \ in \ langle g ^ n \ rangle} \ {\ exists z \ in \ mathbb {Z}} \ mid {a = (g ^ n) ^ z}
g ^ n \ in H \ Rightarrow (g ^ n) ^ z \ in H \ Rightarrow a \ in H
Отже, \ Langle g ^ n \ rangle \ subseteq H .

H \ subseteq \ langle g ^ n \ rangle

Нехай h \ in H .
h \ in H \ Rightarrow h \ in G \ Rightarrow \ exists x \ in {\ mathbb {Z}} \ mid h = g ^ x .
Відповідно до алгоритму розподілу із залишком \ Exists q, r \ in {\ mathbb {Z}} \ mid 0 \ le r \ le n \ and x = qn + r
h = g ^ x = g ^ {qn + r} = g ^ {qn} g ^ r = (g ^ n) ^ qg ^ r \ Rightarrow g ^ r = h (g ^ n) ^ {-q} .
h, g ^ n \ in H \ Rightarrow g ^ r \ in H .
Виходячи з того, яким чином ми вибрали n і того, що 0 \ le r \ le n-1 , Робимо висновок, що r = 0 .
r = 0 \ Rightarrow h = (g ^ n) ^ qg ^ 0 = (g ^ n) ^ q \ in \ langle g ^ n \ rangle .
Отже, H \ subseteq \ langle g ^ n \ rangle .

Література

  • Винберг Е. Б. Курс алгебри. - М.: Факторіал Пресс, 2001.
  • Хамермеш М. Теорія груп і її додаток до фізичних проблем. - М.: Мир, 1966.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
АТ-група
Група Е4
Група 77
Can (група)
T2 (група)
Група
Група Лі
75 (група)
Колібрі (група)
© Усі права захищені
написати до нас