Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Ціле алгебраїчне число



План:


Введення

Цілими алгебраїчними числами називаються комплексні (і зокрема речові) коріння многочленів з цілими коефіцієнтами і з старшим коефіцієнтом, рівним одиниці.

По відношенню до складання і множення комплексних чисел, цілі алгебраїчні числа утворюють кільце Ω . Очевидно, Ω є подкольцо поля алгебраїчних чисел і містить всі звичайні цілі числа.

Нехай u - Деяке комплексне число. Розглянемо кільце \ Mathbb {Z} [u] , Породжене додаванням u до кільця звичайних цілих чисел \ Mathbb {Z} . Воно утворено всілякими значеннями f (u) , Де f (z) - Многочлен з цілими коефіцієнтами. Тоді має місце наступний критерій: число u є цілим числом алгебраїчним тоді і тільки тоді, коли \ Mathbb {Z} [u] - конечнопорожденная абелева група.


1. Приклади цілих алгебраїчних чисел

2. Властивості

  • Усі раціональні числа, що входять до Ω , Є на ділі цілими числами. Іншими словами, жодна нескоротного дріб m / n зі знаменником, великим одиниці, цілим алгебраїчним числом бути не може.
  • Для кожного алгебраїчного числа u існує натуральне число n таке, що n u - Ціле алгебраїчне число.
  • Корінь будь-якого ступеня з цілого алгебраїчного числа теж є цілим алгебраїчним числом.

3. Історія

Теорію цілих алгебраїчних чисел створили в XIX столітті Гаусс, Якобі, Дедекинда, Куммер та інші. Інтерес до неї був, зокрема, викликаний тим, що історично ця структура виявилася першою в математиці, де було виявлено неоднозначне розкладання на прості множники. Класичні приклади побудував Куммер; скажімо, в подкольцо цілих алгебраїчних чисел виду a + b \ sqrt {-5} мають місце 2 розкладання:

6 = 2 \ cdot 3 = (1 + \ sqrt {-5}) \ cdot (1 - \ sqrt {-5}) ,

причому в обох випадках все множники - прості, тобто нерозкладних в цьому подкольцо.

Дослідження цієї проблеми привело до відкриття важливих понять ідеалу і простого ідеалу, в структурі яких розкладання на прості множники стало можливим визначити однозначно.


Література

  • К. Айерленд, М. Роузен. Класичне введення в сучасну теорію чисел. Переклад з англійської С. П. Демушкіна під редакцією А. Н. Паршина. М.: Мир, 1987, глава 6.
  • Боревич З. І., Шафаревич І. P. Теорія чисел. М., 1964.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975, розділ 17: Цілі алгебраїчні елементи.
  • Гекке Е. Лекції з теорії алгебраїчних чисел, пров. з нім., М. - Л., 1940.
  • Гельфонд А. О. Трансцендентні і алгебраїчні числа, М., 1952.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Ціле число
Алгебраїчне число
Алгебраїчне число
Алгебраїчне вираз
Алгебраїчне доповнення
Алгебраїчне розширення
Алгебраїчне рівняння
12 (число)
50 (число)
© Усі права захищені
написати до нас