Частка в періодичному потенціалі

В квантовій механіці, частка в одновимірному періодичному потенціалі - це ідеалізована завдання, яка може бути вирішена точно (при деяких спеціального виду потенціалах), без спрощень. Передбачається, що потенціал нескінченний і періодичн, тобто володіє трансляційної симетрією, що, взагалі кажучи, не виконується для реальних кристалів, і завжди існує як мінімум один дефект - поверхня (це призводить до іншої задачі про поверхневих станах або таммовскіх рівнях).


1. Загальний вигляд спектра

1.1. Періодична задача

Potential-actual.PNG

Розглянемо одновимірну решітку іонів, відстань між якими \! a . Потенціал при цьому буде періодичним. Розглянемо спочатку ідеалізований випадок нескінченного кристала. Рівняння Шредінгера має вигляд:

- \ Frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 \ psi (x)} {\ partial x ^ 2} + V_a (x) \ psi (x) = E \ psi (x)

з періодичним потенціалом V_a (x) = V_a (x + a).Спектр визначається як безліч тих енергій, при яких рівняння має рішення, обмежені (не прагнуть до нуля або нескінченності) на всій речовій осі. Рівняння Шредінгера має другий порядок, відповідно простір рішень є двовимірним. Нехай \ Psi_ {1,2} - Лінійно незалежні розв'язки рівняння. Тоді при зсуві на період, в силу періодичності завдання, вони перетворюються через один одного:

\ Left (\ begin {matrix} \ psi_1 (x + a) \ \ \ psi_2 (x + a) \ end {matrix} \ right) = \ mathrm {T} \ left (\ begin {matrix} \ psi_1 (x ) \ \ \ psi_2 (x) \ end {matrix} \ right)

де \ Mathrm {T} - Деяка матриця (матриця монодромії). Розглядаючи вронскіан, нескладно показати, що \ Mathrm {T}унітарна і \ Det \ mathrm {T} = 1 . Звідси випливає, що в деякому базисі вона має вигляд

\ Mathrm {T} = \ left (\ begin {matrix} e ^ {\ mathrm {i} kx} & 0 \ \ 0 & e ^ {- \ mathrm {i} kx} \ end {matrix} \ right)

Звідси випливає теорема Блоха : відповідні власні функції мають вигляд

\ Psi_ {1,2} (x) = e ^ {\ mathrm {i} kx} \ phi_ {1,2} (x),

де \ Phi_ {1,2} (x) - Періодичні функції. Зауважимо, що поки що k \ in \ C . Очевидно, що спектру відповідають k \ in \ R , Що рівнозначно (з урахуванням унітарності) умові на слід матриці монодромії

\ Mathrm {Tr} \ \ mathrm {T} = 2 \ cos (kx) \ in [-2; 2]

Нескладно показати, що \ Mathrm {Tr} (\ mathrm {T}) (E) є гладка функція. Звідси випливає зонна структура спектру: для частинки в періодичному потенціалі допустимі рівні енергії - це деякий, зазвичай нескінченне, безліч відрізків на речовій осі. Для потенціалу загального вигляду спектр не має ізольованих точок, при малому ворушіння потенціалу вони або зникають, або перетворюються в зони малої ширини. Зауважимо, що крайні відрізки спектру в принципі можуть бути необмежені, при цьому всі рівні енергії, починаючи з деякого, є допустимими, а повне число зон звичайно (див. конечнозонное інтегрування). У подібній постановці завдання допускає повне і просте рішення в тета-функції.

k називають квазіімпульсом, за аналогією з хвильовою функцією e ^ {\ mathrm {i} kx} для частинки з певним імпульсом k. Як видно, вся хвильова функція визначається величиною k і будь-яким ділянкою функції довжиною a.

Аналогічно виникають енергетичні зони в гратах більш високих розмірностей.


1.2. Вплив кордонів

У реальному кристалі число допустимих станів, зрозуміло, звичайно, хоча і дуже велике. Приводить до цього додаткове обмеження на величину квазіімпульса виникає з граничних умов на хвильову функцію на поверхні кристала. При цьому замість безперервних зон виникають області з щільно розташованими дискретними рівнями енергії (дозволені зони) і області, в яких станів взагалі немає (заборонені зони). Оцінимо відстань між рівнями енергії в дозволених зонах.

Замість розгляду допустимих рівнів енергії (для цього потрібна була б додаткова інформація, начебто дисперсійного співвідношення і точної структури кристала) розглянемо допустимі значення квазіімпульса. При розгляді ізольованого кристала звичайно розглядаються періодичні граничні умови на хвильову функцію. Це припущення виправдано, оскільки точні граничні умови в реальному кристалі складаються в зануленні хвильової функції електронів на його кордоні. Для одновимірного кристала це означає парність хвильової функції (0 знаходиться в центрі кристала). Якщо ж вплив кордонів на хвильову функцію мало, то наближено можна забути про точне значення хвильової функції на кордоні, зберігши лише властивість симетрії - парність.

Розглянемо одновимірний кристал довжини L . Граничне умова має вигляд

\ Psi (0) = \ psi (L) \,

З урахуванням теореми Блоха звідси випливає, що

kL = 2 \ pi n, \; n \ in \ Z

Таким чином, відстань між сусідніми допустимими значеннями квазіімпульса одно

\ Delta k = \ frac {2 \ pi n} {L}

Аналогічно в загальному випадку, для кубічної решітки:

\ Delta k_ {x, y, z} = \ frac {2 \ pi n} {L_ {x, y, z}}

2. Модель Кроніга - Пенні

Для спрощення завдання потенціал наближають прямокутним:

Potential-approx.PNG

Використовуючи теорему Блоха ми знайдемо хвильову функцію у всьому просторі, але спочатку треба знайти рішення для одного періоду, і зробити його гладким на краях, тобто "зшити" значення сусідніх функцій та їх похідних. Розглянемо один період потенціалу:
У нас є дві незалежних області для яких ми знайдемо рішення:

0 <x <a-b: {- \ hbar ^ 2 \ over 2m} \ psi_ {xx} = E \ psi
\ Rightarrow \ psi = A e ^ {i \ alpha x} + A 'e ^ {-i \ alpha x} \ quad \ left (\ alpha ^ 2 = {2mE \ over \ hbar ^ 2} \ right)
-B <x <0: {- \ hbar ^ 2 \ over 2m} \ psi_ {xx} = (E + V_0) \ psi
\ Rightarrow \ psi = B e ^ {i \ beta x} + B 'e ^ {-i \ beta x} \ quad \ left (\ beta ^ 2 = {2m (E + V_0) \ over \ hbar ^ 2} \ right)

Для знаходження u (x) в кожній області потрібно виконати наступні перетворення:

\ Psi (0 <x <ab) = A e ^ {i \ alpha x} + A 'e ^ {-i \ alpha x} = e ^ {ikx} \ cdot \ left (A e ^ {i (\ alpha -k) x} + A 'e ^ {-i (\ alpha + k) x} \ right)
\ Rightarrow u (0 <x <ab) = A e ^ {i (\ alpha-k) x} + A 'e ^ {-i (\ alpha + k) x}

Аналогічно одержимо

u (-b <x <0) = B e ^ {i (\ beta - k) x} + B 'e ^ {- i (\ beta + k) x} \;

Щоб знайти повне рішення нам треба переконатися в гладкості шуканої функції на границях:

\ Psi (0 ^ {-}) = \ psi (0 ^ {+}) \ quad \ psi '(0 ^ {-}) = \ psi' (0 ^ {+})

і періодичності u (x) і u '(x)

u (-b) = u (a-b) \ quad u '(-b) = u' (a-b). \,

Ці умови дають наступну матрицю:

\ Begin {pmatrix} 1 & 1 & -1 & -1 \ \ \ alpha & - \ alpha & - \ beta & \ beta \ \ e ^ {i (\ alpha-k) (ab)} & e ^ {- i (\ alpha + k) (ab)} &-e ^ {-i (\ beta-k) b} &-e ^ {i (\ beta + k) b} \ \ (\ alpha-k) e ^ {i (\ alpha-k) (ab)} & (\ alpha + k) e ^ {-i (\ alpha + k) (ab)} & - (\ beta-k) e ^ {-i (\ beta -k) b} & (\ beta + k) e ^ {i (\ beta + k) b} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} A \ \ A '\ \ B \ \ B' \ end {pmatrix } = \ begin {pmatrix} 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ end {pmatrix}

Для існування нетривіального рішення необхідно занулення детермінанта цієї матриці. Після деяких перетворень отримуємо:

\ Cos (ka) = \ cos (\ beta b) \ cos [\ alpha (ab)] - {\ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 \ over 2 \ alpha \ beta} \ sin (\ beta b) \ sin [\ alpha (ab)]. \ Qquad (*)

Для подальшого спрощення ми виконаємо такі спрощення, сенс яких полягає у переході до дельта-образним потенціалом (Діраковскій гребінка):

b \ rightarrow 0 \; \ V_0 \ rightarrow \ infty \; \ V_0 b = \ mathrm {constant}
\ Rightarrow \ beta b \ rightarrow 0 \; \ \ beta ^ 2 b = \ mathrm {constant} \; \ \ alpha ^ 2 b \ rightarrow 0 \; \ \ sin (\ beta b) \ rightarrow \ beta b \; \ \ cos (\ beta b) \ rightarrow 1

Тоді кінцевий відповідь буде:

\ Cos (ka) = \ cos (\ alpha a)-P {\ sin (\ alpha a) \ over \ alpha a} \ qquad \ left (P = {\ beta ^ 2 ab \ over 2} \ right)

3. Програмний код

3.1. Код для Maple

Наступний програмний код написаний на мові Maple (9.5). Являє собою просто графічне рішення (*) .

 restart; with (plots): with (stats [statplots]): eq: = cos (k * a) = cos (beta * b) * cos (alpha * (ab)) - (alpha ^ 2 + beta ^ 2) / (2 * alpha * beta) * sin (beta * b) * sin (alpha * (ab)); alpha: = sqrt (8 * Pi ^ 2 * m * (E) * e / h ^ 2): beta : = sqrt (8 * Pi ^ 2 * m * (E + V) * e / h ^ 2): e: = 1.6 * 1e-19: a: = 0.54310 * 1e-9: m: = 0.19 * 9.1 * 1e-31: b: = 1/5 * a: h: = 6.6 * 1e-34: k (E, V): = arccos (rhs (evalf (eq))); # Графік p: = plot ({subs (V = 10, k (E, V)), subs (V = 10,-k (E, V))}, E = -5 .. 50, labels = [ka, E], color = blue): xyexchange (p); # Анімація, залежність від глибини ями p: = animate (plot, [{k (E, V),-k (E, V)}, E = -10 .. 50, color = blue, labels = [ka, E]], V = 0 .. 30): xyexchange (p); 

На малюнках представлені графічні рішення рівняння (*).

Лінії відповідають дозволеним значенням енергії. Існують області по енергії, де ні при яких значеннях хвильового вектора неможливе існування електрона.
Лінії відповідають дозволеним значенням енергії. Показано рух закону дисперсії в залежності від глибини потенційної ями.

На правому малюнку видно, як при деякому значенні потенційної енергії можливе утворення одновимірного безщільна напівпровідника.


3.2. Код для Scilab

Лінії і раніше відповідають дозволеним значенням енергії. Синім зображено рішення для моделі Кроніга-Пенні, червоним - гребінки Дірака при тих же значеннях V 0 b

Код нижче є фактично перекладом попередньої програми на мову Scilab, за тим винятком, що ілюструє також і випадок переходу до гребінки Дірака.

 clear  all  global  Pi  eambh  Pi  =  3.1415926  ; Step =  0.1  ; E =  1.6  * 1e-19; a =  0.54310  * 1e-9; m =  0.19  *  9.1  * 1e-31; b =  1  /  5  * A; h =  6.6  * 1e-34;  function  [  alpha,  beta  ]  = Ab  (  V, E  )  alpha =  sqrt  (  8  *  Pi  ^  2  * M *  (  E  )  * E / h ^  2  )  ;  beta  =  sqrt  (  8  *  Pi  ^  2  * M *  (  E + V  )  * E / h ^  2  )  ; Endfunction  function  r = kronigpenney  (  V, E  )  [  alpha,  beta  ]  = Ab  (  V, E  )  ; R =  1  / A *  acos  (  (  cos  (  beta  * B  )  . *  cos  (  alpha *  (  ab  )  )  )  -  (  alpha. ^  2  +  beta  . ^  2  )  . /  (  2  * Alpha. *  beta  )  . *  sin  (  beta  * B  )  . *  sin  (  alpha *  (  ab  )  )  )  ; Endfunction  function  r = dirac  (  V, E  )  [  alpha,  beta  ]  = Ab  (  V, E  )  ; R =  1  / A *  acos  (  cos  (  alpha * a  )  -  (  beta  . ^  2  * B * a  )  . /  2  . *  sin  (  alpha * a  )  . /  (  alpha * a  )  )  ; Endfunction E =  [  1e-3: step:  50  ]  ; K = kronigpenney  (  10  , E  )  ;  plot  (  k, E,  'B'  )  ;  plot  (  -K, E,  'B'  )  ; K = dirac  (  10  , E  )  ;  plot  (  k, E,  'R'  )  ;  plot  (  -K, E,  'R'  )  ; 

3.3. Код для Matlab

Код нижче є перекладом попередньої програми на мову Matlab.

 function  KronigPenneyM  % Clear all  % Global Pi eambh  Pi  =  3.1415926  ; Step =  0.1  ; E =  1.6  * 1e-19; a =  0.54310  * 1e-9; m =  0.19  *  9.1  * 1e-31; b =  1  /  5  * A; h =  6.6  * 1e-34; E =  [  0  : Step:  50  ]  ; N =  3  ;  hold  on; k = kronigpenney  (  N, E  )  ;  plot  (  [  real  (  k  )  NaN  , -  real  (  k  )  ]  ,  [  E  NaN  E  ]  ,  'B'  )  ; K = dirac  (  N, E  )  ;  plot  (  [  real  (  k  )  NaN  , -  real  (  k  )  ]  ,  [  E  NaN  E  ]  ,  'R'  )  ;  function  [  alpha,  beta  ]  = Ab  (  V, E  )  alpha =  sqrt  (  8  *  Pi  ^  2  * M *  (  E  )  * E / h ^  2  )  ;  beta  =  sqrt  (  8  *  Pi  ^  2  * M *  (  E + V  )  * E / h ^  2  )  ;  end  function  r = kronigpenney  (  V, E  )  [  alpha,  beta  ]  = Ab  (  V, E  )  ; R =  1  / A *  acos  (  (  cos  (  beta  * B  )  . *  cos  (  alpha *  (  ab  )  )  )  -  (  alpha. ^  2  +  beta  . ^  2  )  /  (  2  * Alpha. *  beta  )  . *  sin  (  beta  * B  )  . *  sin  (  alpha *  (  ab  )  )  )  ;  end  function  r = dirac  (  V, E  )  [  alpha,  beta  ]  = Ab  (  V, E  )  ; R =  1  / A *  acos  (  cos  (  alpha * a  )  -  (  beta  . ^  2  * B * a  )  /  2  . *  sin  (  alpha * a  )  /  (  alpha * a  )  )  ;  end  end