Число

Число - абстракція, яка використовується для кількісної характеристики і нумерації об'єктів. Виникнувши ще в первісному суспільстві з потреб рахунку, поняття числа змінювалося і збагачувалося і перетворилося у найважливіше математичне поняття. Письмовими знаками (символами) для запису чисел служать цифри.

1. Основні класи чисел

Натуральні числа, одержувані при природному рахунку; безліч натуральних чисел позначається . Тобто (Іноді до безлічі натуральних чисел також відносять нуль, тобто ). Натуральні числа замкнуті щодо складання та множення (але не віднімання або ділення). Додавання і множення натуральних чисел комутативні і асоціативні, а множення натуральних чисел дистрибутивно щодо додавання і віднімання.

Важливим підмножиною натуральних чисел є прості числа Просте число - це натуральне число, що має рівно два різних натуральних дільника : одиницю і самого себе. Всі інші натуральні числа, крім одиниці, називаються складовими. Ряд простих чисел починається так: 2,3,5,7,11,13,17, ... ^[1] Будь-яке натуральне число, більше одиниці, представимо у вигляді добутку простих чисел, причому єдиним способом з точністю до порядку прямування сомножителей. Наприклад, 121968 = 2 ^{4 3} лютого 7.11 ^2.

Цілі числа, одержувані об'єднанням натуральних чисел з безліччю негативних чисел і нулем, позначаються . Цілі числа замкнуті щодо додавання, віднімання та множення (але не ділення).

Раціональні числа - числа, представлені у вигляді дробу m / n (n ≠ 0), де m - ціле число, а n - натуральне число. Раціональні числа замкнуті вже відносно всіх чотирьох арифметичних дій: додавання, віднімання, множення і ділення (крім ділення на нуль). Для позначення раціональних чисел використовується знак .

Дійсні (речові) числа являють собою розширення безлічі раціональних чисел, замкнутий щодо деяких (важливих для математичного аналізу) операцій граничного переходу. Безліч дійсних чисел позначається . Його можна розглядати як поповнення поля раціональних чисел за допомогою норми, що є звичайною абсолютної величини. Крім раціональних чисел, включає безліч ірраціональних чисел , Не представимо у вигляді відношення цілих.

Комплексні числа , Що є розширенням безлічі дійсних чисел. Вони можуть бути записані у вигляді z = x + i y , Де i - т. зв. уявна одиниця, для якої виконується рівність i ² = - 1 . Комплексні числа використовуються при вирішенні задач квантової механіки, гідродинаміки, теорії пружності та ін Комплексні числа поділяються на алгебраїчні і трансцендентні. При цьому кожне дійсне трансцендентне є ірраціональним, а кожне раціональне число - дійсним алгебраїчним. Більш загальними (але все ще рахунковими) класами чисел, ніж алгебраїчні, є періоди, вичіслімих і арифметичні числа (де кожен наступний клас ширше, ніж попередній).

Для перерахованих множин чисел справедливо наступне вираження:

2. Узагальнення чисел

Кватерніони що є різновидом Гіперкомплексні чисел. Безліч кватернионов позначається . Кватерніони на відміну від комплексних чисел не комутативні щодо множення.

У свою чергу октави , Що є розширенням кватерніонів, вже втрачають властивість асоціативності.

На відміну від октав, седеніони не мають властивість альтернативності, але зберігають властивість ступеневій асоціативності.

Для цих множин узагальнених чисел справедливо наступне вираження:

p-адіческіе числа можна розглядати як елементи поля, що є поповненням поля раціональних чисел за допомогою т. зв. p-адіческого нормування, аналогічно тому, як поле дійсних чисел визначається як його поповнення за допомогою звичайної абсолютної величини.

Аделі визначаються як нескінченні послідовності {a _∞, a _2, a ₃... a _p...}, де a _∞ - будь-яке дійсне число, а a _p - p-адіческое, причому всі a _p, крім, можливо, кінцевого їх числа , є цілими p-адіческімі. Складаються і множаться Аделі покомпонентно і утворюють кільце. Поле раціональних чисел вкладається в це кільце звичайним чином r → {r, r, r ..., ...}. Оборотні елементи цього кільця утворюють групу і називаються ідель.

Практично важливим узагальненням числової системи є інтервальна арифметика.

3. Представлення чисел у пам'яті комп'ютера

докладніше див Прямий код, Додатковий код (подання числа), Число з плаваючою комою

Для представлення натурального числа в пам'яті комп'ютера, воно зазвичай переводиться в двійкову систему числення. Для представлення негативних чисел використовується т. зв. додатковий код числа, який виходить шляхом додавання одиниці до інвертованому поданням модуля даного негативного числа в двійковій системі числення.

Представлення дійсних чисел у пам'яті комп'ютера має деякі обмеження пов'язані з використовуваною системою числення, а також обмеженістю обсягу пам'яті, що виділяється під числа. Дійсні числа зазвичай представляються у вигляді чисел з плаваючою комою. При цьому лише деякі з дійсних чисел можуть бути представлені в пам'яті комп'ютера точним значенням, у той час як інші числа представляються наближеними значеннями. У найбільш поширеному форматі число з плаваючою комою представляється у вигляді послідовності бітів, частина з яких кодує собою мантиссу числа, інша частина - показник ступеня, і ще один біт використовується для вказівки знака числа.

Література

• А. А. Кирилов, Що таке число?, випуск 4 серії "Сучасна математика для студентів", М., Физматлит, 1993.
• Л. С. Понтрягин, Узагальнення чисел, серія "Математична бібліотечка" М., Наука, 1965.
• Л. Я. Жмудь. "Усе є число"? (До інтерпретації "основний доктрини" піфагореїзму) / / Mathesis. З історії античної науки і філософії. М., 1991, с. 55-74.