Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Числова функція



План:


Введення

В математики числова функція - це функція, області визначення і значень якої є підмножинами числових множин - як правило, безлічі дійсних чисел \ R або безлічі комплексних чисел \ Mathbb {C} .


1. Графік функції

Фрагмент графіка функції f (x) = x 3 - 9 x
  • Нехай дано відображення F: X \ to Y . Тоді його графіком Γ називається безліч
    \ Gamma = \ {(x, F (x)) \ mid x \ in X \} \ subset X \ times Y ,
    де X \ times Y позначає декартовій твір множин X і Y .
    • Графіком безперервної функції F: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} є крива на двовимірної площині.
    • Графіком безперервної функції F: \ mathbb {R} ^ 2 \ to \ mathbb {R} є поверхня в тривимірному просторі.

2. Приклади

  • Функція sgn (x)
    • Повертає знак аргументу.
      \ Sgn x = \ begin {cases} +1, & x> 0 \ \ 0, & x = 0 \ \ -1, & x <0 \ end {cases}
    • Область визначення: \ R .
    • Область значень: \ Left \ {-1, 0, +1 \ right \} .
  • y = \ sqrt {1 - x ^ 2}
    • Область визначення: \ Left [-1, +1 \ right] .
    • Область значень: \ Left [0, +1 \ right] .
  • Факторіал
    • Повертає добуток всіх натуральних чисел, не більших даного. Крім того, ~ 0! = 1 .
      n! = \ Begin {cases} 1, & n = 0 \ \ n \ cdot \ left (n - 1 \ right)!, & N \ neq 0 \ end {cases}
    • Область визначення: \ N_0 (Безліч натуральних чисел з нулем).
    • Область значень: \ Left \ {1, 2, 6, 24, 120, \ ldots \ right \}
  • Антьє (стать)
    • Повертає цілу частину числа.
      \ Lfloor x \ rfloor = \ max \ left \ {q \ in \ Z \ mid q \ leqslant x \ right \}
    • Область визначення: \ R .
    • Область значень: \ Z .

3. Способи завдання функції

Словесний За допомогою природної мови Ігрек одно ціла частина від ікс.
Аналітичний За допомогою формули і стандартних позначень f (x) = x!
Графічний За допомогою графіка
Фрагмент графіка функції y = \ operatorname {arctg} x .
Табличний За допомогою таблиці значень
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

3.1. Аналітичний спосіб

Звичайно функція задається за допомогою формули, до якої входять змінні, операції і елементарні функції. Можливо, кусочно завдання, тобто різне для різних значень аргументу.

Приклади:

  • f \ left (x \ right) = x ^ 2 ;
  • f \ left (x, y \ right) = x \ lor y ;
  • f \ left (A \ right) = \ left | A \ right | ;
  • f \ left (x \ right) = \ begin {cases} x ^ 2, & x \ leqslant 0; \ \-x ^ 3, & x> 0. \ End {cases}

3.2. Табличний спосіб

Функцію можна задати, перелічивши всі її можливі аргументи і значення для них. Після цього, якщо це необхідно, функцію можна доопределить для аргументів, яких немає в таблиці, шляхом інтерполяції або екстраполяції. Прикладами можуть служити програма передач, розклад поїздів або таблиця значень булевої функції :

~ X~ Y~ X \ land y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

3.3. Графічний спосіб

Осцилограма задає значення деякої функції графічно.

Функцію можна задати графічно, відобразивши безліч точок її графіка на площині. Це може бути приблизний нарис, як повинна виглядати функція, або свідчення, зняті з приладу, наприклад, з осцилографа. Цей спосіб завдання може страждати від нестачі точності, проте в деяких випадках інші способи завдання взагалі не можуть бути застосовані. Крім того, такий спосіб завдання один з презентативних, зручних для сприйняття і якісного евристичного аналізу функції.


3.4. Рекурсивний спосіб

Функція може бути задана рекурсивно, тобто через саму себе. У цьому випадку одні значення функції визначаються через інші її значення.

Приклади:

3.5. Словесний спосіб

Функцію можна описати словами на природною мовою будь-яким однозначним способом, наприклад, описавши її вхідні і вихідні значення, або алгоритм, за допомогою якого функція задає відповідності між цими значеннями. Поряд з графічним способом, іноді це єдиний спосіб описати функцію, хоча природні мови і не настільки детерміновані, як формальні.

Приклади:

  • функція, яка повертає цифру в запису числа пі по її номеру;
  • функція, яка повертає число атомів у всесвіту в певний момент часу;
  • функція, що приймає як аргумент людини, і повертає число людей, яке народиться на світ після його народження.

4. Класи числових функцій

5. Історичний нарис

5.1. Поява поняття

Математичне моделювання явищ і законів природи призводить до виникнення поняття функції, що спочатку обмежується алгебраїчними функціями ( многочленами) і тригонометрією. Як і інші поняття математики, загальне поняття функції склалося не відразу, а пройшло довгий шлях розвитку. Зрозуміло, і в давнину при обчисленнях люди несвідомо використовували різні функції (наприклад, квадратний корінь) і навіть рівняння, проте як окремий математичний об'єкт, що допускає загальне аналітичне дослідження, функція могла з'явитися тільки після створення Вієтом символічної алгебри (XVI століття) [1]. Навіть у XVII столітті Непер, вводячи в ужиток логарифмічну функцію, використовував обхідний шлях - визначив її кінематично.

Спочатку об'єктом дослідження стали різноманітні алгебраїчні формули. Декарт розглядав неалгебраіческіе залежності тільки у вигляді рідкісного винятку. У нього й у Ферма формула розуміється не просто як обчислювальний алгоритм, але розглядається як (геометрично представимое) перетворення однієї безперервно мінливою величини в іншу [2]. У Барроу ("Лекції з геометрії", 1670) в геометричній формі встановлюється взаємна зворотної дії диференціювання та інтегрування (зрозуміло, без вживання самих цих термінів). Це свідчить вже про абсолютно виразному володінні поняттям функції як цілісного об'єкта. У геометричному і механічному вигляді поняття функції ми знаходимо і в Ньютона.

Математичний термін "функція" вперше з'явився в 1673 у Лейбніца, і притому не зовсім в сучасному його розумінні: Лейбніц спочатку називав функцією різні відрізки, пов'язані з якою-небудь кривою (наприклад, абсциси її точок). Пізніше, однак, у листуванні з Іоганном Бернуллі ( 1694) зміст терміна розширюється і врешті-решт стає синонімом "аналітично заданої залежності".

У першому друкованому курсі "Аналізу нескінченно малих для пізнання кривих ліній" Лопіталя ( 1696) термін "функція" не вживається.


5.2. Перші спроби визначення

На початку XVIII століття були отримані розкладання всіх стандартних функцій і багатьох інших. Завдяки, в основному, Ейлера ( 1748) були уточнені їх визначення. Ейлер вперше ясно визначив показову функцію, а також логарифмічну як зворотну до неї, і дав їх розкладу в ряд. До Ейлера багато математики вважали, наприклад, тангенс тупого кута позитивним; Ейлер дав сучасні визначення всіх тригонометричних функцій (сам термін "тригонометрическая функція" запропонував Клюгель в 1770).

У додатках аналізу з'являється безліч нових трансцендентних функцій. Коли Гольдбах і Бернуллі спробували знайти безперервний аналог факторіала, молодий Ейлер повідомив у листі Гольдбаху про властивості гамма-функції (1729, назва належить Лежандру). Через рік Ейлер відкрив бета-функцію, і далі неодноразово повертався до цієї теми. Гамма-функція і пов'язані з нею (бета, дзета, циліндричні (Бесселя)) знаходять численні застосування в аналізі, а також в теорії чисел, а дзета-функція Рімана виявилася незамінним інструментом для вивчення розподілу простих чисел в натуральному ряді.

В 1757 Вінченцо Риккати, досліджуючи сектори гіперболи, вводить гіперболічні функції ch, sh (саме з такими позначеннями) і перераховує їх основні властивості. Чимало нових функцій виникло у зв'язку з неінтегріруемостью різних виразів. Ейлер визначив (1768) інтегральний логарифм (назву запропонував І. Зольднер, 1809), Л. Маскероні - інтегральні синус і косинус ( 1790). Невдовзі з'являється і новий розділ математики: спеціальні функції.

З цим строкатим зборами треба було щось робити, і математики прийняло радикальне рішення: всі функції, незалежно від їх походження, були оголошені рівноправними. Єдина вимога, що пред'являється до функції - визначеність, причому мається на увазі не однозначність самої функції (вона може бути і багатозначною), а недвозначність способу обчислення її значень.

Перше загальне визначення функції зустрічається у Йоганна Бернуллі ( 1718): "Функція - це величина, складена із змінної і постійної". В основі цього не цілком виразного визначення лежить ідея завдання функції аналітичної формулою. Та ж ідея виступає і у визначенні Ейлера, даному ним під "Запровадження в аналіз нескінченних" ( 1748): "Функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений яким-небудь чином з цього змінної кількості і чисел або постійних кількостей".

Все ж таки в XVIII столітті було відсутнє досить ясне розуміння відмінності між функцією і її аналітичним виразом. Це знайшло відображення в тій критиці, якою Ейлер піддав рішення завдання про коливання струни, запропоноване Бернуллі ( 1753). В основі рішення Бернуллі лежало твердження про можливість розкласти будь-яку функцію в тригонометричний ряд. Заперечуючи проти цього, Ейлер вказав на те, що подібна розкладність доставляла б для будь-якої функції аналітичний вираз, в той час як функція може і не мати його (вона може бути задана графіком, "накресленим вільним рухом руки").

Ця критика переконлива і з сучасної точки зору, бо не всі функції допускають аналітичне зображення (правда, у Бернуллі йдеться про безперервну функції, яка, як встановив в 1885 Вейерштрасс, завжди аналітично ізобразіма, але вона може і не розкладатися в тригонометричний ряд). Проте інші аргументи Ейлера вже помилкові [3]. Наприклад, він вважав, що розкладання функції в тригонометричний ряд доставляє для неї єдине аналітичне вираз, в той час як вона може бути "змішаної" функцією, представимо на різних відрізках різними формулами. Насправді одне іншому не суперечить, але в ту епоху здавалося неможливим, щоб два аналітичних вирази, збігаючись на частини відрізка, не збігалися на всьому його протязі. Пізніше, при дослідженні функцій багатьох змінних він зрозумів обмеженість колишнього визначення і визнав розривні функції, а потім, після дослідження комплексного логарифма - навіть багатозначні функції.

Під впливом теорії нескінченних рядів, які давали алгебраїчне представлення майже будь-якій гладкій залежності, наявність явної формули поступово перестало бути обов'язковим для функції. Логарифм або показова функція, наприклад, обчислюються як межі нескінченних рядів; такий підхід поширився і на інші нестандартні функції. З рядами стали звертатися як з кінцевими виразами, спочатку ніяк не обгрунтовуючи коректність операцій і навіть не гарантуючи збіжність ряду.

Починаючи з "Диференціального обчислення" ( 1755), Ейлер фактично приймає сучасне визначення числової функції як довільного відповідності чисел [3] :

Коли деякі кількості залежать від інших таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, то перші називаються функціями других.


5.3. Загальне визначення

З початку XIX століття вже все частіше і частіше визначають поняття функції без згадки про її аналітичному зображенні. В "Трактаті по диференціальному і інтегральному численню" ( 1797 - 1802) Лакруа говориться: "Будь-яка величина, значення якої залежить від однієї або багатьох інших величин, називається функцією цих останніх" незалежно від того, відомий чи невідомий спосіб обчислення її значень [4].

В "Аналітичної теорії тепла" Фур'є ( 1822) є фраза: "Функція f x позначає функцію абсолютно довільну, тобто послідовність даних значень, підпорядкованих чи ні загальному закону і відповідних всіх значень x , Що містяться між 0 і який-небудь величиною x ".

Близько до сучасного і визначення Лобачевського :

... Загальне поняття функції вимагає, щоб функцією від x називати число, яке дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано або аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб випробовувати всі числа і вибирати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати і залишатися невідомою ... Великий погляд теорії допускає існування залежності тільки в тому сенсі, щоб числа одні з іншими у зв'язку розуміти як би даними разом.

Таким чином, сучасне визначення функції, вільний від згадок про аналітичне завданні, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося і до нього. Ось визначення Дирихле ( 1837):

у є функція змінної х (на відрізку a \ leqslant x \ leqslant b ), Якщо кожному значенню х (на цьому відрізку) відповідає цілком певне значення у, причому байдуже, яким чином встановлено це відповідність - аналітичної формулою, графіком, таблицею, або навіть просто словами.

До кінця XIX століття поняття функції переростає рамки числових систем. Першими це зробили векторні функції, незабаром Фреге ввів логічні функції ( 1879), а після появи теорії множин Дедекинда ( 1887) і Пеано ( 1911) сформулювали сучасне універсальне визначення.


6. Приклади

6.1. Неявні функції

Функції можуть бути задані за допомогою інших функцій та рівнянь.

Припустимо, задана функція F двох змінних, яка задовольняє спеціальним умовам (умовам теореми про неявних функцій), тоді рівняння виду.

F (x, y) = 0 .

визначає неявну функцію виду y = f (x) .

6.2. Узагальнені функції

Література

  • Історія математики під редакцією А. П. Юшкевича в трьох томах, М.: Наука.
  • Ільїн В. А., Позняк Е. Г. Основи математичного аналізу, ч.1, 3 вид., М., 1971;. ч.2, 2 изд., М., 1980;
  • Кудрявцев Л. Д. Математичний аналіз, 2 изд., Т.1-2, 1973,
  • Нікольський С. М. Курс математичного аналізу, 2 изд., Т.1-2, М., 1975;
  • Юшкевич А. П. Про розвиток поняття функції / / Історико-математичні дослідження. - М .: Наука, 1966. - № 17. - С. 123-150.

Примітки

  1. Юшкевич А. П., 1966, с. 134-135
  2. Юшкевич А. П., 1966, с. 137-138
  3. 1 2 Юшкевич А. П., 1966, с. 144-148
  4. Хрестоматія з історії математики. Математичний аналіз. Теорія ймовірностей / Под ред. А. П. Юшкевича - М .: Просвещение, 1977. - С. 84. - 224 с.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Числова вісь
Числова послідовність
R-функція
θ-функція
Функція
Хі-функція Лежандра
Проста функція
Функція Уолша
Функція Ландау
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru