Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Чудові межі



План:


Введення

Чудові межі - термін, що використовується в радянських і російських підручниках з математичного аналізу для позначення деяких широко відомих математичних тотожностей із взяттям межі. Особливо відомі:

  • Перший чудовий межа:
    \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x} = 1.
  • Другий чудовий межа:
    \ Lim_ {x \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {x} \ right) ^ x = e.

1. Перший чудовий межа

\ Lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x} = 1

Доказ

Sinx x limit proof.svg

Розглянемо односторонні межі \ Lim_ {x \ to 0 +} \ frac {\ sin x} {x} і \ Lim_ {x \ to 0 -} \ frac {\ sin x} {x} і доведемо, що вони рівні 1.

Нехай x \ in (0; \ frac {\ pi} {2}) . Відкладемо цей кут на одиничному колі ( R = 1 ).

Точка K - точка перетину променя з колом, а точка L - з дотичній до одиничної окружності в точці (1, 0) . Точка H - проекція точки K на вісь OX.

Очевидно, що:

S_ {\ triangle OKA} <S_ {sect OKA} <S_ {\ triangle OAL} (1)

(Де S s e c t O K A - Площа сектора O K A )

S_ {\ triangle OKA} = \ frac {1} {2} \ cdot | OA | \ cdot | KH | = \ frac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin x = \ frac {\ sin x} {2}
S_ {sect OKA} = \ frac {1} {2} R ^ 2 x = \ frac {x} {2}
S_ {\ triangle OAL} = \ frac {1} {2} \ cdot | OA | \ cdot | LA | = \ frac {\ mathrm {tg} x} {2}

\ Triangle OAL : | L A | = tg x )

Підставляючи в (1), отримаємо:

\ Frac {\ sin x} {2} <\ frac {x} {2} <\ frac {\ mathrm {tg} x} {2}

Так як при x \ to 0 +: \ sin x> 0, x> 0, \ mathrm {tg} x> 0 :

\ Frac {1} {\ mathrm {tg} x} <\ frac {1} {x} <\ frac {1} {\ sin x}

Множимо на sin x :

\ Cos x <\ frac {\ sin x} {x} <1

Перейдемо до межі:

\ Lim_ {x \ to 0 +} \ cos x \ leqslant \ lim_ {x \ to 0 +} \ frac {\ sin x} {x} \ leqslant 1
1 \ leqslant \ lim_ {x \ to 0 +} \ frac {\ sin x} {x} \ leqslant 1
\ Lim_ {x \ to 0 +} \ frac {\ sin x} {x} = 1

Знайдемо лівий однобічний межа:

\ Lim_ {x \ to 0 -} \ frac {\ sin x} {x} = \ left [\ begin {matrix} u =-x \ \ x =-u \ \ u \ to 0 + \ \ x \ to 0 - \ end {matrix} \ right] = \ lim_ {u \ to 0 +} \ frac {\ sin (-u)} {-u} = \ lim_ {u \ to 0 +} \ frac {- \ sin (u)} {-u} = \ lim_ {u \ to 0 +} \ frac {\ sin (u)} {u} = 1

Правий і лівий однобічний межі існують і рівні 1, а значить і сам межа дорівнює 1.

Наслідки

  • \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {\ mathrm {tg} x} {x} = 1
  • \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {\ arcsin x} {x} = 1
  • \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {\ mathrm {arctg} x} {x} = 1
  • \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {1 - \ cos x} {\ frac {x ^ 2} {2}} = 1
Доказ наслідків
\ Lim_ {x \ to 0} \ frac {\ mathrm {tg} x} {x} = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x \ cos x} = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin x} {x} \ cdot \ lim_ {x \ to 0} \ frac {1} {\ cos x} = 1 \ cdot 1 = 1
\ Lim_ {x \ to 0} \ frac {\ arcsin x} {x} = \ left [\ begin {matrix} u = \ arcsin x \ \ x = \ sin u \ \ u \ to 0 \ \ x \ to 0 \ end {matrix} \ right] = \ lim_ {u \ to 0} \ frac {u} {\ sin u} = 1
\ Lim_ {x \ to 0} \ frac {\ mathrm {arctg} x} {x} = \ left [\ begin {matrix} u = \ mathrm {arctg} x \ \ x = \ mathrm {tg} u \ \ u \ to 0 \ \ x \ to 0 \ end {matrix} \ right] = \ lim_ {u \ to 0} \ frac {u} {\ mathrm {tg} u} = 1
\ Lim_ {x \ to 0} \ frac {1 - \ cos x} {\ frac {x ^ 2} {2}} = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {2 \ sin ^ 2 \ frac {x } {2}} {\ frac {x ^ 2} {2}} = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin ^ 2 \ frac {x} {2}} {\ frac {x} {2 } \ cdot \ frac {x} {2}} = 1 ^ 2 = 1

2. Другий чудовий межа

\ Lim_ {x \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {x} \ right) ^ x = e або \ Lim_ {x \ to 0} \ left (1 + x \ right) ^ {1 / x} = e

Доказ другому чудового краю:

Доказ для натуральних значень x

\ Blacktriangleleft Доведемо спочатку теорему для випадку послідовності x_ {n} = \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n; n \ mathcal {2} ~ \ mathbb N

За формулою бінома Ньютона : (A + b) ^ n = a ^ n ~ + ~ \ frac {n} {1} \ cdot a ^ {n-1} \ cdot b ~ + ~ \ frac {n (n-1)} {1 \ cdot 2} \ cdot a ^ {n-2} \ cdot b ^ 2 ~ + ~ ... ~ + ~ \ Frac {n (n-1) (n-2 )...( n-(n-1))} {1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot ... \ Cdot n} \ cdot b ^ n; n \ mathcal {2} ~ \ mathbb N

Вважаючи a = 1; ~ b = \ frac {1} {n} , Отримаємо:

\ Left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n = 1 ~ + ~ \ frac {n} {1} \ cdot \ frac {1} {n} ~ + ~ \ frac {n (n -1)} {1 \ cdot2} \ cdot n} \ cdot \ frac {1} {n ^ n} =
... ~ + ~ \ Frac {1} {1 \ cdot2 \ cdot3 \ cdot ... \ cdot ~~~~~ (1)

З даного рівності (1) випливає, що зі збільшенням n число позитивних доданків у правій частині збільшується. Крім того, при збільшенні n число \ Frac {1} {n} убуває, тому величини \ Left (1 - \ frac {1} {n} \ right), \ left (1 - \ frac {2} {n} \ right), ... зростають. Тому послідовність \ {X_ {n} \} = \ left \ {\ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n \ right \}; n \ mathcal {2} \ Nu - Зростаюча, при цьому

\ Left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n> 2 ~~~~~ (2).

Покажемо, що вона обмежена. Замінимо кожну дужку в правій частині рівності на одиницю, права частина збільшиться, отримаємо нерівність

\ Left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n <1 +1 + \ frac {1} {1 \ cdot2} + \ frac {1} {1 \ cdot2 \ cdot3 }~+~. ..~+~ \ frac {1} {1 \ cdot2 \ cdot3 \ cdot ... \ Cdot n}

Посилимо отримане нерівність, замінимо 3,4,5, ..., що стоять в знаменниках дробів, числом 2:

\ Left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n <1 + \ left (1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2 ^ 2 }+...+ \ frac {1} {2 ^ {n-1}} \ right) .

Суму в дужці знайдемо за формулою суми членів геометричної прогресії:

1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {2 ^ 2 }+...+ \ frac {1} {2 ^ {n-1}} = \ frac {1 \ cdot \ left ( 1 - (\ frac {1} {2}) ^ n \ right)} {1 - \ frac {1} {2}} = 2 \ cdot \ left (1 - \ frac {1} {2 ^ n} \ right) <2 .

Тому \ Left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n <1 +2 = 3 ~~~~~ (3).

Отже, послідовність обмежена зверху, при цьому \ Mathcal {8} n \ mathcal {2} ~ \ mathbb N виконуються нерівності (2) і (3): 2 ~ <~ \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n ~ <~ 3 .

Отже, на підставі теореми Вейєрштрасса (критерій збіжності послідовності) послідовність x_ {n} = \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n, n \ mathcal {2} ~ \ mathbb N монотонно зростає і обмежена, значить має межу, що позначається буквою e. Тобто \ Lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n = e\ Blacktriangleright

\ Blacktriangleleft Знаючи, що другий чудовий межа вірний для натуральних значень x, доведемо другу чудовий межа для речових x, тобто доведемо, що \ Lim_ {x \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {x} \ right) ^ x = e; x \ mathcal {2} ~ \ mathbb R . Розглянемо два випадки:

1. Нехай x \ rightarrow + \ mathcal {1} . Кожне значення x укладено між двома позитивними цілими числами: n \ leqslant x <n +1 , Де ~ N = [x] - Це ціла частина x.

Звідси випливає: \ Frac {1} {n +1} <\ frac {1} {x} \ leqslant \ frac {1} {n} ~ ~ \ Longleftrightarrow ~ ~ 1 + \ frac {1} {n +1} <1 + \ frac {1} {x} \ leqslant 1 + \ frac {1} {n} , Тому
\ Left (1 + \ frac {1} {n +1} \ right) ^ n <\ left (1 + \ frac {1} {x} \ right) ^ x \ leqslant \ left (1 + \ frac {1 } {n} \ right) ^ {n +1} .
Якщо x \ rightarrow + \ mathcal {1} , То n \ rightarrow \ mathcal {1} . Тому, згідно межі \ Lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ n = e , Маємо:
\ Lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {n +1} \ right) ^ n = \ frac {\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} (1 + \ frac { 1} {n +1}) ^ {n +1}} {\ lim \ limits_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {n +1} \ right)} = \ frac { e} {1} = e
\ Lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) ^ {n +1} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1 } {n} \ right) ^ n \ cdot \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {n} \ right) = e \ cdot 1 = e .
За ознакою (про межу проміжної функції) існування меж \ Lim_ {x \ to + \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {x} \ right) ^ x = e .

2. Нехай x \ to - \ infty . Зробимо підстановку - X = t , Тоді

\ Lim_ {x \ to - \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {x} \ right) ^ x = \ lim_ {t \ to + \ infty} \ left (1 - \ frac {1} { t} \ right) ^ {-t} = \ lim_ {t \ to + \ infty} \ left (\ frac {t} {t-1} \ right) ^ t = \ lim_ {t \ to + \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {t-1} \ right) ^ t =
= \ Lim_ {t \ to + \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {t-1} \ right) ^ {t-1} \ cdot \ lim_ {t \ to + \ infty} \ left ( 1 + \ frac {1} {t-1} \ right) ^ 1 = e \ cdot1 = e .

Із двох цих випадків випливає, що \ Lim_ {x \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {x} \ right) ^ x = e для речового x. \ Blacktriangleright

Наслідки

  1. \ Lim_ {u \ to 0} (1 + u) ^ \ frac {1} {u} = e
  2. \ Lim_ {x \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {k} {x} \ right) ^ x = e ^ k
  3. \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {\ ln (1 + x)} {x} = 1
  4. \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {e ^ x - 1} {x} = 1
  5. \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {a ^ x - 1} {x \ ln a} = 1 для a> 0 \, \! , a \ neq 1 \, \!
  6. \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {(1 + x) ^ \ alpha - 1} {\ alpha x} = 1
Докази наслідків
  1. \ Lim_ {u \ to 0} (1 + u) ^ \ frac {1} {u} = \ left [\ begin {matrix} u = 1 / x \ \ x \ to \ infty \ end {matrix} \ right ] = \ lim_ {x \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {x} \ right) ^ x = e
  2. \ Lim_ {x \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {k} {x} \ right) ^ x = \ left [\ begin {matrix} u = x / k \ \ x = ku \ \ u \ to \ infty \ \ x \ to \ infty \ end {matrix} \ right] = \ lim_ {u \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {u} \ right) ^ {ku} = \ left (\ lim_ {u \ to \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {u} \ right) ^ u \ right) ^ k = e ^ k
  3. \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {\ ln (1 + x)} {x} = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {1} {x} \ ln (1 + x) = \ lim_ { x \ to 0} \ ln ((1 + x) ^ \ frac {1} {x}) = \ ln e = 1
  4. \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {e ^ x - 1} {x} = \ left [\ begin {matrix} u = e ^ x - 1 \ \ x = \ ln (1 + u) \ \ x \ to 0 \ \ u \ to 0 \ end {matrix} \ right] = \ lim_ {u \ to 0} \ frac {u} {\ ln (1 + u)} = 1
  5. \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {a ^ x - 1} {x \ ln a} = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {e ^ {\ ln (a ^ x)} - 1} { x \ ln a} = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {e ^ {x \ ln a} - 1} {x \ ln a} = \ left [\ begin {matrix} u = x \ ln a \ \ u \ to 0 \ \ x \ to 0 \ end {matrix} \ right] = \ lim_ {u \ to 0} \ frac {e ^ u - 1} {u} = 1
  6. \ Lim_ {x \ to 0} \ frac {(1 + x) ^ \ alpha - 1} {\ alpha x} = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {e ^ {\ alpha \ ln (1 + x )} - 1} {\ alpha x} = \ left [\ ln (1 + x) \ sim x \ right] = \ lim_ {x \ to 0} \ frac {e ^ {\ alpha x} - 1} { \ alpha x} = 1

Література


Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Чудові точки трикутника
Чудові географи і мандрівники
Види на межі зникнення
Межі міста Сестрорецька
Точна верхня і нижня межі множин
Точна верхня і нижня межі множин
© Усі права захищені
написати до нас