Щільність струму

Зв'язок між струмом і щільністю струму

Щільність струму - векторна фізична величина, що має сенс сили струму, що протікає через одиницю площі. Наприклад, при рівномірному розподілі щільності струму і всюди ортогональності її площині перерізу, через яке обчислюється або вимірюється струм, величина вектора густини струму:

j = | \ vec j | = \ frac {I} {S},

де I - сила струму через поперечний переріз провідника площею S (також см.рисунок).

  • (Іноді мова може йти про скалярною [1] густини струму, в таких випадках під нею мається на увазі саме та величина j, яка наведена у формулі трохи вище).


У загальному випадку:

I = \ int \ limits_S \ vec j \ cdot \ vec {dS} = \ int \ limits_S j_n dS ,

де j_n - Нормальна (ортогональна) складова вектора щільності струму по відношенню до елементу площі dS ; Вектор \ Vec {dS} - Спеціально вводиться вектор елемента площі, ортогональний елементарної майданчику і має абсолютну величину, рівну її площі, що дозволяє записати подинтегрального вирази як звичайне скалярний добуток.

Як бачимо з цього визначення, сила струму є потік вектора густини струму через якусь задану фіксовану поверхню.


У найпростішому припущенні, що всі носії струму (заряджені частинки) рухаються з однаковим вектором швидкості \ Vec v і мають однакові заряди q (Таке припущення може іноді бути наближено вірним; воно дозволяє найкраще зрозуміти фізичний зміст густини струму), а концентрація їх n ,

\ Vec j = n q \ vec v

або

\ Vec j = \ rho \ vec v,

де \ Rho - Щільність заряду цих носіїв. (Напрям вектора \ Vec j відповідає напрямку вектора швидкості \ Vec v , З якої рухаються заряди, що створюють струм, якщо q положітелно).

У реальності навіть носії одного типу рухаються взагалі кажучи і як правило з різними швидкостями. Тоді під \ Vec v слід розуміти середню швидкість.

У складних системах (з різними типами носіїв заряду, наприклад, в плазмі або електролітах)

\ Vec j = \ sum_i n_i q_i \ vec v_i,

тобто вектор густини струму є сума густин струму за всіма типами рухомих носіїв; де n_i \, \! - концентрація часток кожного типу, q_i \, \! - Заряд частки даного типу, \ Vec v_i - Вектор середньої швидкості частинок цього типу.

Вираз для загального випадку може бути записано також через суму по всім індивідуальним часткам:

\ Vec j = \ sum_i q_i \ vec v_i

(Сама формула майже збігається з формулою, наведеною трохи вище, але тепер індекс підсумовування i означає не номер типу частинки, а номер кожної індивідуальної частинки, не важливо, мають вони однакові заряди або різні, при цьому концентрації виявляються вже не потрібні).


1. Щільність струму і потужність

Робота, чинена електричним полем над носіями струму, характеризується, очевидно [2], щільністю потужності [енергія / (час обсяг)]:

w = \ vec E \ cdot \ vec j,

де точкою позначено скалярний добуток.

Найчастіше ця потужність розсіюється в середу у вигляді тепла, але взагалі кажучи вона пов'язана з повною роботою електричного поля і частина її може переходити в інші види енергії, наприклад такі, як енергія того чи іншого виду випромінювання, механічна робота (особливо - в електродвигунах) итд.


2. Закон Ома

У лінійній і ізотропної провідному середовищі щільність струму пов'язана з напруженістю електричного поля в даній точці за законом Ома :

\ Vec j = \ sigma \ vec E

де \ Sigma \ - питома провідність середовища, \ Vec E - Напруженість електричного поля. Або:

\ Vec j = \ frac {1} {\ rho} \ vec E,

де \ Rho \ - питомий опір.


У лінійній анізотропному середовищі має місце таке ж співвідношення, однак питома електропровідність \ Sigma в цьому випадку взагалі кажучи повинна розглядатися як тензор, а множення на неї - як множення вектора на матрицю.

Формула для роботи електричного поля (щільності її потужності)

w = \ vec E \ cdot \ vec j,

разом з законом Ома приймає для ізотропної електропровідності вигляд:

w = \ sigma E ^ 2 = \ frac {j ^ 2} {\ sigma} \ equiv \ rho j ^ 2,

де \ Sigma і \ Rho - Скаляри, а для анізотропної:

w = \ vec E \ sigma \ vec E = \ vec j \ rho \ vec j,

де подразумеваєтся матричне множення (справа наліво) вектора-стовпця на матрицю і на вектор-рядок, а тензор \ Sigma і тензор \ Rho породжують відповідні квадратичні форми.


3. 4-вектор густини струму

В теорії відносності вводиться четирехвектор щільності струму (4-ток), складений з об'ємною щільності заряду ρ і 3-вектора густини струму \ Vec {j}:

J ^ {\ mu} = (c \ rho, \ vec {j}).

4-ток є прямим і природним узагальненням поняття густини струму на чотиривимірний просторово-часової формалізм і дозволяє, в чатстності, записувати рівняння електродинаміки в коваріантного вигляді [3].


Примітки

  1. Найчастіше в таких випадках вона навіть не називається явно скаляром, але просто не згадується її векторний характер.
  2. Це прямо випливає з формул, наведених вище укупі з визначенням роботи або з формулою потужності P = \ vec F \ cdot \ vec v .
  3. досить красивому і компактному.