Ядро Діріхле

Ядро Діріхле - 2 \ pi -Періодична функція, що задається наступною формулою:

D_n (x) = \ frac {1} {2} \ sum_ {k =-n} ^ ne ^ {ikx} = \ frac {1} {2} + \ sum_ {k = 1} ^ n \ cos (kx ) = \ frac {\ sin \ left (\ left (n + \ frac {1} {2} \ right) x \ right)} {2 \ sin (x / 2)}.

Функція названа на честь французько-німецького математика Діріхле. Ця функція є ядром, згортка з яким дає часткову суму тригонометричного ряду Фур'є. Це дозволяє аналітично оцінювати співвідношення між вихідною функцією і її наближеннями в просторі L_2 [- \ pi, \ pi] .


1. Співвідношення з рядом Фур'є

Нехай f (x) - Интегрируема [- \ Pi, \ pi] і 2 \ pi -Періодична, тоді \ Forall x \ in \ mathbb {R} ~ \ forall n \ in \ mathbb {N}

S_n (f; x) = \ frac1 {\ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x + u) \ frac {\ sin (n + \ frac {1} {2}) u } {2 \ sin \ frac {u} {2}} du = \ frac1 {\ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x + u) D_n (u) du

Ця формула є однією з найважливіших в теорії рядів Фур'є.


1.1. Доказ

Розглянемо n-ную часткову суму ряду Фур'є.

S_n (f; x) = \ frac {a_0} {2} + \ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} (a_k \ cos (kx) + b_k \ sin (kx)) \ qquad (1)S_n (f; x) = \ frac1 {2 \ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) dt + \ sum_ {k = 1} ^ n \ left [\ left (\ frac1 {\ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ cos (kt) dt \ right) \ cos (kx) + \ left (\ frac1 {\ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ sin (kt) dt \ right) \ sin (kx) \ right] \ qquad (2)S_n (f; x) = \ frac1 {\ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ left [\ frac1 {2} + \ sum_ {k = 1} ^ n \ left (\ cos (kt) \ cos (kx) + \ sin (kt) \ sin (kx) \ right) \ right] dt \ qquad (3)

Застосовуючи формулу різниці косинусів до виразу, що стоїть під знаком суми, отримаємо:

S_n (f; x) = \ frac1 {\ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ left [\ frac1 {2} + \ sum_ {k = 1} ^ n \ left (\ cos (k (tx) \ right) \ right] dt \ qquad (4)

Розглянемо суму косинусів: \ Frac1 {2} + \ cos \ alpha + \ cos (2 \ alpha) + ... + \ cos (n \ alpha)

Помножимо кожний доданок на 2 \ sin (\ frac \ alpha {2}) і перетворимо за формулою 2 \ sin \ alpha \ cos \ beta = \ sin (\ alpha + \ beta) + \ sin (\ alpha - \ beta)

2 \ sin (\ frac \ alpha {2}) \ left (\ frac1 {2} + \ cos \ alpha + \ cos (2 \ alpha) + ... + \ cos (n \ alpha) \ right) = \ sin \ frac \ alpha {2} - \ sin \ frac \ alpha {2} + \ sin \ frac {3 \ alpha} {2} - \ sin \ frac {3 \ alpha} {2} + ... + \ Sin (n + \ frac {1} {2}) \ alpha = \ sin (n + \ frac {1} {2}) \ alpha

Застосовуючи це перетворення до формули (4), отримаємо:

Зробимо заміну змінної u = t - x

S_n (f; x) = \ frac1 {\ pi} \ int \ limits_ {- \ pi - x} ^ {\ pi - x} f (x + u) \ frac {\ sin (n + \ frac {1} { 2}) u} {2 \ sin \ frac {u} {2}} du = \ frac1 {\ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x + u) \ frac {\ sin (n + \ frac {1} {2}) u} {2 \ sin \ frac {u} {2}} du \ qquad (6)


2. Властивості ядра Діріхле

  • D_n (x) - Функція 2 \ pi -Періодична і парна.
  • \ Forall n \ in \ mathbb {N} ~ \ frac1 {\ pi} \ int \ limits_ {- \ pi} ^ {\ pi} D_n (u) du = 1