Знаймо

Додати знання

приховати рекламу

Цей текст може містити помилки.

Якобіан



План:


Введення

Якобіан (визначник Якобі, функціональний визначник) - визначник матриці Якобі :

\ Det \ begin {pmatrix} {\ partial u_1 \ over \ partial x_1} (x) & {\ partial u_1 \ over \ partial x_2} (x) & \ cdots & {\ partial u_1 \ over \ partial x_n} (x ) \ \ {\ partial u_2 \ over \ partial x_1} (x) & {\ partial u_2 \ over \ partial x_2} (x) & \ cdots & {\ partial u_2 \ over \ partial x_n} (x) \ \ \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots \ \ {\ partial u_m \ over \ partial x_1} (x) & {\ partial u_m \ over \ partial x_2} (x) & \ cdots & {\ partial u_m \ over \ partial x_n} (x) \ end {pmatrix}

для векторної функції \ Mathbf {u}: \ R ^ n \ to \ R ^ m, \ mathbf {u} = (u_1, \ ldots, u_m), u_i = u_i (x_1, \ ldots, x_n), i = 1, \ ldots , m, має в деякій точці x всі приватні похідні першого порядку (визначник Якобі або якобіан системи функцій u_1, \ ldots, u_n ).

Також якобіаном іноді (по-русски таке вживання терміна не цілком прийнято) називають саму матрицю Якобі, а не її визначник. По-англійськи і в деяких інших мовах термін якобіан вважається одно застосовні до матриці Якобі та її визначник. [джерело не вказано 712 днів]

  • Часто використовуються такі позначення якобіана:
\ Frac {D (u_1, \ dots, u_m)} {D (x_1, \ dots, x_n)} або \ Frac {\ partial (u_1, \ dots, u_m)} {\ partial (x_1, \ dots, x_n)}
  • Визначник Якобі зазвичай визначено для випадку m = n, тобто для квадратних матриць Якобі; для m ≠ n його можна вважати нулем (у найпростішій інтерпретації матриця Якобі дописується при цьому нулями до квадратної).

1. Сенс і застосування визначника Якобі

Якщо функції \ Tilde x_1 (x_1, \ dots, x_n), \ ldots, \ tilde x_n (x_1, \ dots, x_n) визначають перетворення координат x_i \ rightarrow \ tilde x_j , То сенс визначника Якобі полягає у ставленні обсягів [1] "елементарних паралелепіпедів", натягнутих на d \ tilde x_1, d \ tilde x_2, \ dots, d \ tilde x_n і на dx_1, dx_2, \ dots, dx_n при рівності творів d \ tilde x_1 d \ tilde x_2, \ dots, d \ tilde x_n = dx_1 dx_2, \ dots, dx_n .


1.1. Основні застосування

  1. Якобіан часто застосовується при аналізі неявних функцій
  2. Рівність визначника Якобі нулю служить зручним необхідною і достатньою умовою виродженість перетворення координат, а нерівність його нулю - необхідною і достатньою умовою невиродженого.
  3. Інтеграл по області при невиродженим перетворенні координат \ Tilde x_j \ rightarrow x_i перетвориться як
\ Int \ limits_ {\ tilde \ Omega} f (\ tilde x_1, \ tilde x_2, \ dots, \ tilde x_n) d \ tilde x_1 d \ tilde x_2 \ dots d \ tilde x_n =
= \ Int \ limits_ {\ Omega} f (\ tilde x_1 (x_1, x_2, \ dots, x_n), \ tilde x_2 (x_1, x_2, \ dots, x_n), \ dots, \ tilde x_n (x_1, x_2, \ dots, x_n)) \ bigg | \ frac {D (\ tilde x_1, \ tilde x_2, \ dots, \ tilde x_n)} {D (x_1, x_2, \ dots, x_n)} \ bigg | dx_1 dx_2 \ dots dx_n
( формула заміни змінних в n-мірному інтегралі).



Примітки

  1. Тут мається на увазі орієнтований об'єм. Ставлення простих обсягів є модуль визначника Якобі.

Цей текст може містити помилки.

Схожі роботи | скачати

Схожі роботи:
Якобіан відображення
© Усі права захищені
написати до нас