4-тензор

4-тензори, четирехтензори - клас математичних об'єктів, використовуваний для опису деяких фізичних полів в релятивістської фізики, тензор, визначений на чотиривимірному просторі-часі [1].

  • Зауваження: в літературі 4-тензори часто називаються просто тензорами, а розмірність і природа векторного простору (різноманіття), на якому вони задані в цьому випадку обмовляються явно або очевидні з контексту.

У загальному випадку 4-тензор є об'єктом із набором індексів:

A_ {i_1 i_2 \ ldots i_n} ^ {j_1 j_2 \ ldots j_m},

причому кожен з індексів приймає чотири значення (зазвичай від нуля до трьох або від одного до чотирьох, тобто i_1 = 0,1,2,3, i_2 = 0,1,2,3 итд.

При зміні системи відліку компоненти цього об'єкта перетворюються так [2] :

A_ {i_1 i_2 \ ldots i_n} ^ {\ prime j_1 j_2 \ ldots j_m} = \ beta_ {j_1 k_1} \ beta_ {j_2 k_2} \ ldots \ beta_ {j_m k_m} \ alpha_ {i_1 l_1} \ alpha_ {i_2 l_2 } \ ldots \ alpha_ {i_n l_n} A_ {l_1 l_2 \ ldots l_n} ^ {k_1 k_2 \ ldots k_m} ,

де \ Alpha_ {ij} - матриця повороту в чотиривимірному просторі-часі (матриця групи Лоренца), а \ Beta_ {ij} - Зворотна їй.

Верхні індекси називаються контраваріантнимі, а нижні - коваріантними. Сумарне число індексів задає ранг тензора. 4-вектор є 4-тензором першого рангу.

Зазвичай у фізиці тензори однакової природи з різним числом коваріантного і контраваріантних індексів вважаються різними уявленнями одного і того ж об'єкта. Опускання або піднімання індексу проводиться за допомогою метричного тензора \ Hat {g} , Наприклад для 4-тензора другого рангу

A ^ {ij} = g ^ {jk} A ^ i_k

Алгебра зовнішнього добутку дозволяє також вводити для антисиметрична тензорів споріднені їм дуальні тензори.


1. Переваги чотиривимірний записи

Рівняння теорії відносності, електродинаміки, і багатьох сучасних фундаментальних теорій, що включають їх, особливо зручно записувати, використовуючи 4-вектори і 4-тензори. Головною перевагою такого запису є те, що в цій формі рівняння автоматично Лоренц-інваріантні, тобто не змінюються при переході від однієї інерціальної системи координат до іншої.


2. Приклади

2.1. 4-тензори в ОТО


2.2. 4-тензор електромагнітного поля

Відповідний 4-тензор існує також і для опису електромагнітного поля. Це 4-тензор другого рангу. При його використанні основні рівняння для електромагнітного поля: рівняння Максвелла і рівняння руху зарядженої частинки в полі мають особливо просту й елегантну форму.

2.2.1. Визначення через 4-потенціал

4-тензор визначається через похідні від 4-потенціалу [3] :

F_ {ik} = \ frac {\ partial A_k} {\ partial x ^ i} - \ frac {\ partial A_i} {\ partial x ^ k} .

2.2.2. Визначення через тривимірні вектори

4-тензор визначається через звичайні тривимірні складові векторів напруженості наступним чином:

F_ {ik} = \ left (\ begin {matrix} 0 & E_x & E_y & E_z \ \-E_x & 0 &-H_z & H_y \ \-E_y & H_z & 0 &-H_x \ \-E_z &-H_y & H_x & 0 \ end {matrix} \ right)
F ^ {ik} = \ left (\ begin {matrix} 0 &-E_x &-E_y &-E_z \ \ E_x & 0 &-H_z & H_y \ \ E_y & H_z & 0 &-H_x \ \ E_z &-H_y & H_x & 0 \ end {matrix} \ right)

Перша форма - це коваріантний тензор, а друга форма - це контраваріантний тензор.


2.2.3. Сила Лоренца

Записане в 4-векторної формі рівняння руху зарядженої частинки в електромагнітному полі набуває вигляду

m c \ frac {du ^ i} {ds} = \ frac {q} {c} F ^ {ik} u_k ,

де u ^ k - 4-швидкість, q - електричний заряд частинки, c - швидкість світла, m - маса. Права частина цього рівняння - це сила Лоренца.


Примітки

  1. повороти системи відліку в якому включають як звичайні повороти в тривимірному просторі, так і переходи між системами відліку, які рухаються з різними швидкостями одна відносно іншої ( перетворення Лоренца).
  2. Тут, як прийнято в теорії відносності, знак суми опускається - повторення індексу внизу і вгорі значить підсумовування; см. Угода Ейнштейна про підсумовуванні.
  3. Формули на цій сторінці записані в системі СГСГ

4. Зовнішні посилання